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Rêves Vision

Bac général (spécialité maths) · Terminale · corrigé original

Corrigé : satisfaction et loi binomiale (Bac 2024)

Corrigé original d'un exercice de probabilités du bac 2024 : probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale et recherche de seuil.

Référence : Bac spécialité mathématiques, Métropole jour 1, 19 juin 2024, exercice 2

Un fabricant répartit ses produits en trois gammes ; on modélise la satisfaction des clients par un arbre, puis on étudie le nombre de clients satisfaits par une loi binomiale.

L'énoncé officiel est disponible sur la source : consulter le sujet ↗. Nous n'en reproduisons pas le texte ; le corrigé ci-dessous est une production originale.

Satisfaction client et loi binomiale

Voir le corrigé rédigé

  1. 1. Probabilités totales

    Avec P(I)=0,6P(I) = 0{,}6, P(M)=0,3P(M) = 0{,}3, P(G)=0,1P(G) = 0{,}1 et les probabilités de satisfaction 0,750{,}75, 0,90{,}9 et 0,80{,}8, la formule des probabilités totales donne P(S)=0,6×0,75+0,3×0,9+0,1×0,8=0,45+0,27+0,08=0,80P(S) = 0{,}6 \times 0{,}75 + 0{,}3 \times 0{,}9 + 0{,}1 \times 0{,}8 = 0{,}45 + 0{,}27 + 0{,}08 = 0{,}80.

  2. 2. Probabilité conditionnelle

    On cherche la probabilité qu'un client satisfait ait acheté la gamme II : PS(I)=P(S∩I)P(S)=0,450,80=0,5625≈0,563P_S(I) = \dfrac{P(S \cap I)}{P(S)} = \dfrac{0{,}45}{0{,}80} = 0{,}5625 \approx 0{,}563.

  3. 3. Loi binomiale

    On interroge 3030 clients de façon indépendante. Le nombre XX de clients satisfaits suit la loi binomiale de paramètres n=30n = 30 et p=0,8p = 0{,}8. Son espérance est E(X)=np=30×0,8=24E(X) = np = 30 \times 0{,}8 = 24.

  4. 4. Recherche d'un seuil

    On veut le plus petit entier nn tel que la probabilité qu'au moins un client ne soit pas satisfait dépasse 0,990{,}99 : 1−0,8n≥0,991 - 0{,}8^{n} \ge 0{,}99, soit 0,8n≤0,010{,}8^{n} \le 0{,}01. Donc n≥ln⁡0,01ln⁡0,8≈20,6n \ge \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6.

  5. 5. Conclusion

    Le plus petit entier convenable est n=21n = 21. Conclusion : P(S)=0,80P(S) = 0{,}80, PS(I)≈0,563P_S(I) \approx 0{,}563, et il faut interroger au moins 2121 clients.
Réponse finale
P(S)=0,80,PS(I)≈0,563,n=21P(S) = 0{,}80, \quad P_S(I) \approx 0{,}563, \quad n = 21
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