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Rêves Vision

Bac blanc (spécialité maths) · Terminale · sujet blanc

Bac blanc de spécialité mathématiques nº 1

Bac blanc original de spécialité mathématiques : étude de fonction, loi binomiale et fonction exponentielle. Barème sur 20, corrigé détaillé.

Durée : 240 min · Barème : 20 / 20

Exercice 1 (7 pts)

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. 1) Calculer f′(x)f'(x). 2) Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations de ff. 3) Déterminer les coordonnées des extremums locaux de ff.
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  1. 1. Dérivée

    f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1).

  2. 2. Signe et variations

    f′(x)=0f'(x) = 0 pour x=−1x = -1 ou x=1x = 1. Le trinôme 3(x−1)(x+1)3(x-1)(x+1) est positif à l'extérieur des racines : f′(x)>0f'(x) > 0 sur ]−∞ ;−1[]-\infty\,;-1[ et sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[, et f′(x)<0f'(x) < 0 sur ]−1 ;1[]-1\,;1[. Donc ff est croissante, puis décroissante sur [−1 ;1][-1\,;1], puis croissante.

  3. 3. Extremums

    f(−1)=(−1)3−3×(−1)=−1+3=2f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = 2 (maximum local) et f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2 (minimum local). Les extremums sont A(−1 ;2)A(-1\,;2) et B(1 ;−2)B(1\,;-2).
Réponse finale
f′(x)=3(x−1)(x+1),max A(−1 ;2),min B(1 ;−2)f'(x) = 3(x-1)(x+1), \quad \text{max } A(-1\,;2), \quad \text{min } B(1\,;-2)

Exercice 2 (7 pts)

Énoncé

Une machine produit des pièces ; chaque pièce est défectueuse avec probabilité 0,30{,}3, indépendamment des autres. On prélève un échantillon de 1010 pièces et on note XX le nombre de pièces défectueuses. 1) Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2) Calculer E(X)E(X) et l'interpréter. 3) Calculer P(X=2)P(X = 2), arrondie au millième.
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  1. 1. Loi de X

    Les 1010 prélèvements sont identiques et indépendants, chacun avec deux issues (défectueuse de probabilité 0,30{,}3, ou non). Donc XX suit la loi binomiale de paramètres n=10n = 10 et p=0,3p = 0{,}3.

  2. 2. Espérance

    E(X)=np=10×0,3=3E(X) = np = 10 \times 0{,}3 = 3 : en moyenne, 33 pièces sur 1010 sont défectueuses.

  3. 3. Calcul d'une probabilité

    P(X=2)=(102)×0,32×0,78=45×0,09×0,78≈0,233P(X = 2) = \dbinom{10}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^8 = 45 \times 0{,}09 \times 0{,}7^8 \approx 0{,}233. Ainsi X∼B(10 ;0,3)X \sim \mathcal{B}(10\,;0{,}3), E(X)=3E(X) = 3 et P(X=2)≈0,233P(X=2) \approx 0{,}233.
Réponse finale
X∼B(10 ;0,3),E(X)=3,P(X=2)≈0,233X \sim \mathcal{B}(10\,;0{,}3), \quad E(X) = 3, \quad P(X = 2) \approx 0{,}233

Exercice 3 (6 pts)

Énoncé

Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=ex−xg(x) = \mathrm{e}^{x} - x. 1) Calculer g′(x)g'(x). 2) Étudier les variations de gg. 3) En déduire que pour tout réel xx, ex>x\mathrm{e}^{x} > x.
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  1. 1. Dérivée

    g′(x)=ex−1g'(x) = \mathrm{e}^{x} - 1.

  2. 2. Variations

    g′(x)>0  ⟺  ex>1  ⟺  x>0g'(x) > 0 \iff \mathrm{e}^{x} > 1 \iff x > 0. Donc gg est décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] et croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ : elle admet un minimum en 00.

  3. 3. Conclusion

    Ce minimum vaut g(0)=e0−0=1>0g(0) = \mathrm{e}^{0} - 0 = 1 > 0. Donc pour tout réel xx, g(x)≥1>0g(x) \ge 1 > 0, c'est-à-dire ex−x>0\mathrm{e}^{x} - x > 0. On a bien ex>x\mathrm{e}^{x} > x pour tout réel xx.
Réponse finale
g′(x)=ex−1,min⁡g=g(0)=1>0,donc ex>xg'(x) = \mathrm{e}^{x} - 1, \quad \min g = g(0) = 1 > 0, \quad \text{donc } \mathrm{e}^{x} > x
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