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Rêves Vision

Bac STI2D · Terminale STI2D · corrigé original

Corrigé : vitesse d'un parachutiste (Bac STI2D 2024)

Corrigé original d'un exercice du bac STI2D 2024 : équation différentielle y' = ay + b, condition initiale, primitive et intégrale.

Référence : Bac STI2D, Métropole, 19 juin 2024, exercice 3

À l'ouverture d'un parachute, la vitesse vérifie une équation différentielle linéaire ; on en déduit la vitesse puis la distance parcourue en 10 secondes.

L'énoncé officiel est disponible sur la source : consulter le sujet ↗. Nous n'en reproduisons pas le texte ; le corrigé ci-dessous est une production originale.

Vitesse d'un parachutiste

Voir le corrigé rédigé

  1. 1. Solution particulière

    L'équation est (E):y′=−5y+10(E) : y' = -5y + 10. On cherche une solution constante y=gy = g : alors y′=0y' = 0, donc −5g+10=0-5g + 10 = 0, soit g=2g = 2.

  2. 2. Solutions générales

    Les solutions de (E)(E) s'écrivent f(t)=k e−5t+2f(t) = k\,\mathrm{e}^{-5t} + 2, où kk est un réel.

  3. 3. Condition initiale

    À t=0t = 0, la vitesse vaut 5050 : k e0+2=50k\,\mathrm{e}^{0} + 2 = 50, donc k=48k = 48. Ainsi v(t)=48 e−5t+2v(t) = 48\,\mathrm{e}^{-5t} + 2 (en m·s−1^{-1}).

  4. 4. Distance parcourue

    La distance sur [0 ; 10][0\,;\,10] est ∫010v(t) dt\displaystyle \int_{0}^{10} v(t)\,\mathrm{d}t. Une primitive de vv est V(t)=−485 e−5t+2t=−9,6 e−5t+2tV(t) = -\dfrac{48}{5}\,\mathrm{e}^{-5t} + 2t = -9{,}6\,\mathrm{e}^{-5t} + 2t.

  5. 5. Calcul final

    On obtient V(10)−V(0)=(−9,6 e−50+20)−(−9,6)=29,6−9,6 e−50≈29,6V(10) - V(0) = \left(-9{,}6\,\mathrm{e}^{-50} + 20\right) - \left(-9{,}6\right) = 29{,}6 - 9{,}6\,\mathrm{e}^{-50} \approx 29{,}6. Conclusion : le parachutiste parcourt environ 29,629{,}6 mètres en 1010 secondes.
Réponse finale
v(t)=48 e−5t+2,d≈29,6 mv(t) = 48\,\mathrm{e}^{-5t} + 2, \quad d \approx 29{,}6 \text{ m}
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