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Rêves Vision

DNB (brevet) · Troisième · corrigé original

Corrigé : cercle, Pythagore et Thalès (DNB 2024)

Corrigé original d'un exercice de géométrie du brevet 2024 : diamètre, réciproque de Pythagore, théorème de Thalès et proportion d'aires.

Référence : DNB série générale, Métropole, 1er juillet 2024, exercice 3

Dans un cercle où un diamètre et un triangle inscrit sont donnés, on prouve qu'un triangle est rectangle, on calcule une longueur par Thalès, puis une part d'aire.

L'énoncé officiel est disponible sur la source : consulter le sujet ↗. Nous n'en reproduisons pas le texte ; le corrigé ci-dessous est une production originale.

Cercle, Pythagore et Thalès

Voir le corrigé rédigé

  1. 1. Longueur du diamètre

    Le segment [AB][AB] est un diamètre du cercle de rayon 4,54{,}5 cm, donc AB=2×4,5=9AB = 2 \times 4{,}5 = 9 cm.

  2. 2. Réciproque de Pythagore

    On calcule séparément AD2+DB2=7,22+5,42=51,84+29,16=81AD^2 + DB^2 = 7{,}2^2 + 5{,}4^2 = 51{,}84 + 29{,}16 = 81 et AB2=92=81AB^2 = 9^2 = 81. Comme AD2+DB2=AB2AD^2 + DB^2 = AB^2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABDABD est rectangle en DD.

  3. 3. Théorème de Thalès

    Les droites (BD)(BD) et (EF)(EF) étant parallèles, le théorème de Thalès donne AFAD=AEAB\dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AE}{AB}, d'où AF=AE×ADAB=2,7×7,29=2,16AF = \dfrac{AE \times AD}{AB} = \dfrac{2{,}7 \times 7{,}2}{9} = 2{,}16 cm.

  4. 4. Calcul des aires

    Le triangle ABDABD est rectangle en DD, donc son aire vaut BD×AD2=5,4×7,22=19,44\dfrac{BD \times AD}{2} = \dfrac{5{,}4 \times 7{,}2}{2} = 19{,}44 cm2^2. L'aire du disque vaut π×4,52≈63,62\pi \times 4{,}5^2 \approx 63{,}62 cm2^2.

  5. 5. Proportion

    La part de l'aire du triangle dans le disque est 19,4463,62≈0,306\dfrac{19{,}44}{63{,}62} \approx 0{,}306. Conclusion : le triangle occupe environ 30,6 %30{,}6\,\% de l'aire du disque.
Réponse finale
AB=9 cm,AF=2,16 cm,part≈30,6 %AB = 9 \text{ cm}, \quad AF = 2{,}16 \text{ cm}, \quad \text{part} \approx 30{,}6\,\%
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