Fiche méthode · Première

Methode : la fonction exponentielle

Fiche methode de Premiere sur la fonction exponentielle : proprietes algebriques, derivee de e puissance u, equations, inequations et variations.

Mis à jour en juin 2026

La fonction exponentielle revient sans cesse en Premiere : dans les calculs, les dérivées, les équations. Bonne nouvelle, tout repose sur quelques règles simples et sur une idée centrale - l’exponentielle est toujours positive et strictement croissante. Cette fiche te donne une méthode claire pour chaque type de question.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

simplifier une expression avec des exponentielles grâce aux propriétés algébriques ;
dériver une fonction de la forme $e^{\,u}$ ;
résoudre une équation et une inéquation avec des exponentielles ;
étudier les variations d’une fonction qui contient une exponentielle.

Méthode

A. Simplifier une expression (propriétés algébriques).

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ : $e^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b} \qquad e^{\,a-b} = \frac{e^{\,a}}{e^{\,b}} \qquad e^{\,-a} = \frac{1}{e^{\,a}} \qquad \left(e^{\,a}\right)^n = e^{\,na}$

En pratique : on additionne les exposants quand on multiplie, on les soustrait quand on divise.

B. Résoudre une équation.

Ramener à une seule exponentielle de chaque côté : $e^{\,A} = e^{\,B}$ .
Comme $\exp$ est strictement croissante, enlever les exponentielles : $e^{\,A} = e^{\,B} \iff A = B.$
Résoudre l’équation $A = B$ (souvent du premier degré).

C. Résoudre une inéquation.

Même principe, et le sens se conserve (l’exponentielle est croissante) : $e^{\,A} \leqslant e^{\,B} \iff A \leqslant B.$

D. Dériver une exponentielle composée.

Si $u$ est dérivable, alors $\left(e^{\,u}\right)' = u' \, e^{\,u}.$ On identifie $u$ (l’exposant), on calcule $u'$ , puis on multiplie par l’exponentielle inchangée.

E. Étudier les variations.

On dérive, puis on étudie le signe de la dérivée. Comme $e^{\,\text{(quelque chose)}} > 0$ toujours, le signe de $u' \, e^{\,u}$ est exactement celui de $u'$ .

Exemple résolu

Exemple 1 - simplifier. Écrire $\dfrac{e^{\,5} \times e^{\,-2}}{e^{\,x}}$ sous la forme d’une seule exponentielle.

Au numérateur, on additionne les exposants : $e^{\,5} \times e^{\,-2} = e^{\,5-2} = e^{\,3}$ .
On divise par $e^{\,x}$ , donc on soustrait $x$ : $\frac{e^{\,3}}{e^{\,x}} = e^{\,3-x}.$

Conclusion : $\dfrac{e^{\,5} \times e^{\,-2}}{e^{\,x}} = e^{\,3-x}$ .

Exemple 2 - équation. Résoudre $e^{\,2x-1} = e^{\,x+3}$ .

Il y a une seule exponentielle de chaque côté. On enlève les exponentielles : $e^{\,2x-1} = e^{\,x+3} \iff 2x-1 = x+3.$
On résout : $2x - x = 3 + 1$ , soit $x = 4$ .

Conclusion : l’équation a une seule solution, $x = 4$ .

Exemple 3 - inéquation. Résoudre $e^{\,3x} \geqslant e^{\,x+2}$ .

On enlève les exponentielles en gardant le sens : $e^{\,3x} \geqslant e^{\,x+2} \iff 3x \geqslant x+2.$
On résout : $2x \geqslant 2$ , soit $x \geqslant 1$ .

Conclusion : l’ensemble des solutions est $[\,1\,;\,+\infty\,[$ .

Exemple 4 - dériver et étudier les variations. Soit $f(x) = e^{\,2x^2-1}$ sur $\mathbb{R}$ .

On pose $u(x) = 2x^2 - 1$ , donc $u'(x) = 4x$ . D’après $\left(e^{\,u}\right)' = u' \, e^{\,u}$ : $f'(x) = 4x \, e^{\,2x^2-1}.$
Comme $e^{\,2x^2-1} > 0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $4x$ : négatif si $x < 0$ , positif si $x > 0$ .

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]\,-\infty\,;\,0\,]$ puis croissante sur $[\,0\,;\,+\infty\,[$ .

Erreur classique

Faux : « casser » l’exponentielle d’une somme en somme d’exponentielles, par exemple écrire $e^{\,2x-1} = e^{\,2x} - e^{\,1}$ , ou encore $e^{\,a+b} = e^{\,a} + e^{\,b}$ .

Vrai : l’exponentielle d’une somme est un produit, jamais une somme : $e^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b}.$ De même, $e^{\,2x-1}$ ne se simplifie pas en une soustraction : on garde l’exposant tel quel, ou on écrit $e^{\,2x-1} = \dfrac{e^{\,2x}}{e}$ .

À retenir

On multiplie $\rightarrow$ on additionne les exposants ; on divise $\rightarrow$ on soustrait. Pour une équation ou une inéquation, comme $\exp$ est strictement croissante, on enlève les exponentielles sans changer le sens : $e^{\,A} = e^{\,B} \iff A = B$ et $e^{\,A} \leqslant e^{\,B} \iff A \leqslant B$ . Enfin, une exponentielle étant toujours positive, le signe de $u' \, e^{\,u}$ est celui de $u'$ .

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La fonction exponentielle

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Questions fréquentes

Comment simplifier une expression avec des exponentielles ?

On rassemble tout sous une seule exponentielle en utilisant les regles : une somme d'exposants devient un produit, une difference devient un quotient, et un exposant multiplie par un entier devient une puissance. Concretement, e puissance a multiplie par e puissance b vaut e puissance (a plus b), e puissance a divise par e puissance b vaut e puissance (a moins b), et e puissance a le tout puissance n vaut e puissance (n fois a). On additionne donc les exposants quand on multiplie et on les soustrait quand on divise.

Comment resoudre une equation ou une inequation avec des exponentielles ?

On ecrit l'equation sous la forme e puissance A egale e puissance B, avec une seule exponentielle de chaque cote. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, l'egalite des exponentielles equivaut a l'egalite des exposants : il reste a resoudre A egale B. Pour une inequation, le sens se conserve : e puissance A est inferieur a e puissance B equivaut a A inferieur a B. On se ramene ainsi a une equation ou une inequation du premier degre, beaucoup plus simple.

Comment deriver une fonction de la forme e puissance u ?

La derivee de e puissance u(x) est u'(x) multiplie par e puissance u(x). On commence par identifier la fonction u placee en exposant, on calcule sa derivee u', puis on multiplie cette derivee par l'exponentielle de depart, laissee inchangee. Par exemple, la derivee de e puissance (2x au carre moins 1) est 4x multiplie par e puissance (2x au carre moins 1), car la derivee de 2x au carre moins 1 vaut 4x.