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Rêves Vision
Première ST2S

Calculer une probabilité sur un arbre

Énoncé

On donne un arbre pondéré à deux niveaux décrivant deux événements AA et BB. Au premier niveau : P(A)=0,6P(A) = 0{,}6 et P(A‾)=0,4.P(\overline{A}) = 0{,}4. Au second niveau : PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5 et PA‾(B)=0,25.P_{\overline{A}}(B) = 0{,}25. a) Calculer PA(B‾)P_A(\overline{B}) et PA‾(B‾).P_{\overline{A}}(\overline{B}). b) Calculer P(A∩B)P(A \cap B), la probabilité du chemin AA puis B.B. c) Calculer P(A‾∩B).P(\overline{A} \cap B).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Probabilités contraires au second niveau

    Les deux branches issues d'un même nœud ont une somme égale à 1.1. Donc PA(B‾)=1−PA(B)=1−0,5=0,5P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5, et PA‾(B‾)=1−PA‾(B)=1−0,25=0,75.P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - P_{\overline{A}}(B) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.

  2. 2. b) Probabilité du chemin A puis B

    La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin : P(A∩B)=P(A)×PA(B)=0,6×0,5=0,30.P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30.

  3. 3. c) Probabilité du chemin A barre puis B

    De même : P(A‾∩B)=P(A‾)×PA‾(B)=0,4×0,25=0,10.P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}10. On a donc P(A∩B)=0,30P(A \cap B) = 0{,}30 et P(A‾∩B)=0,10.P(\overline{A} \cap B) = 0{,}10.
Réponse finale
PA(B‾)=0,5 ; PA‾(B‾)=0,75;P(A∩B)=0,30;P(A‾∩B)=0,10P_A(\overline{B}) = 0{,}5 \ ;\ P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}75 \quad ; \quad P(A \cap B) = 0{,}30 \quad ; \quad P(\overline{A} \cap B) = 0{,}10
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