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Première ST2S Approfondissement gratuit

Recherche d'un seuil : campagne de vaccination

Énoncé

Lors d'une campagne de vaccination, 2 0002\,000 personnes sont vaccinées le premier mois. Grâce à la mobilisation des centres, ce nombre cumulé augmente de 25 %25\,\% chaque mois. On note unu_n le nombre de personnes vaccinées au bout de nn mois, donc u0=2 000u_0 = 2\,000.

1. Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. À partir de combien de mois le nombre de personnes vaccinées dépassera-t-il 5 0005\,000 ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 25 %25\,\%, c'est multiplier par un coefficient multiplicateur : lequel ?
  2. Écris le terme général un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, puis teste des valeurs entières de nn avec la calculatrice.
  3. Calcule u4u_4 puis u5u_5 : repère entre quelles deux valeurs de nn la suite franchit 5 0005\,000.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature de la suite

    Augmenter de 25 %25\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1+25100=1,251 + \dfrac{25}{100} = 1{,}25. On a donc un+1=1,25×unu_{n+1} = 1{,}25 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,25q = 1{,}25 et de premier terme u0=2 000u_0 = 2\,000.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=2 000×1,25 n.u_n = 2\,000 \times 1{,}25^{\,n}.

  3. 3. Encadrer le seuil

    On cherche le plus petit entier nn tel que un>5 000u_n > 5\,000. À la calculatrice, on calcule les termes successifs : u4=2 000×1,254≈4 883u_4 = 2\,000 \times 1{,}25^{4} \approx 4\,883 et u5=2 000×1,255≈6 104.u_5 = 2\,000 \times 1{,}25^{5} \approx 6\,104.

  4. 4. Conclure

    On a u4≈4 883<5 000u_4 \approx 4\,883 < 5\,000 alors que u5≈6 104>5 000u_5 \approx 6\,104 > 5\,000. La suite franchit donc le seuil entre le 4e4^{\text{e}} et le 5e5^{\text{e}} mois.

    C’est aˋ partir du 5e mois que le nombre de personnes vaccineˊes deˊpasse 5 000.\textbf{C'est à partir du 5}^{\textbf{e}} \textbf{ mois que le nombre de personnes vaccinées dépasse 5 000.}
Réponse finale
un=2 000×1,25 n ;le seuil de 5 000 est deˊpasseˊ aˋ partir de n=5u_n = 2\,000 \times 1{,}25^{\,n}\ ;\quad \text{le seuil de } 5\,000 \text{ est dépassé à partir de } n = 5
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