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Comparer deux traitements avec l'espérance et l'écart-type (problème)

Énoncé

Pour évaluer deux traitements, on mesure chez chaque patient un score d'amélioration entier de 00 (aucune amélioration) à 33 (amélioration maximale). On note XX le score pour le traitement A et YY le score pour le traitement B, pour un patient pris au hasard. Traitement A : P(X=0)=0,1P(X = 0) = 0{,}1, P(X=1)=0,2P(X = 1) = 0{,}2, P(X=2)=0,4P(X = 2) = 0{,}4, P(X=3)=0,3.P(X = 3) = 0{,}3. Traitement B : P(Y=0)=0,05P(Y = 0) = 0{,}05, P(Y=1)=0,15P(Y = 1) = 0{,}15, P(Y=2)=0,55P(Y = 2) = 0{,}55, P(Y=3)=0,25.P(Y = 3) = 0{,}25. 1) Vérifier que chaque tableau est une loi de probabilité. 2) Calculer l'espérance et l'écart-type de chaque score (arrondir les écarts-types au centième). 3) Indiquer, en justifiant par la position et la dispersion, quel traitement semble préférable.
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  1. Pour chaque traitement, additionne les quatre probabilités : tu dois trouver 1.1.
  2. Calcule chaque espérance avec E=∑xi pi.E = \sum x_i\, p_i. Note ensuite mm cette espérance, puis V=∑pi (xi−m)2V = \sum p_i\,(x_i - m)^2 et l'écart-type σ=V.\sigma = \sqrt{V}.
  3. Pour comparer, sépare la position (l'espérance, c'est-à-dire le score moyen attendu) de la dispersion (l'écart-type). À score moyen plus élevé, on préfère le traitement ; à scores moyens proches, on préfère celui dont l'écart-type est le plus faible (résultats plus réguliers).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier les deux lois de probabilité

    Traitement A : 0,1+0,2+0,4+0,3=1.0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1. Traitement B : 0,05+0,15+0,55+0,25=1.0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}55 + 0{,}25 = 1. Les deux sommes valent 11 : ce sont bien deux lois de probabilité.

  2. 2. Calculer l'espérance du traitement A

    E(X)=0×0,1+1×0,2+2×0,4+3×0,3=0+0,2+0,8+0,9=1,9.E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}3 = 0 + 0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}9 = 1{,}9. Le score moyen attendu avec le traitement A est donc 1,9.1{,}9.

  3. 3. Calculer l'écart-type du traitement A

    Avec m=1,9m = 1{,}9, les écarts au carré sont (0−1,9)2=3,61(0 - 1{,}9)^2 = 3{,}61 ; (1−1,9)2=0,81(1 - 1{,}9)^2 = 0{,}81 ; (2−1,9)2=0,01(2 - 1{,}9)^2 = 0{,}01 ; (3−1,9)2=1,21.(3 - 1{,}9)^2 = 1{,}21. Donc V(X)=0,1×3,61+0,2×0,81+0,4×0,01+0,3×1,21=0,361+0,162+0,004+0,363=0,89.V(X) = 0{,}1 \times 3{,}61 + 0{,}2 \times 0{,}81 + 0{,}4 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 1{,}21 = 0{,}361 + 0{,}162 + 0{,}004 + 0{,}363 = 0{,}89. L'écart-type vaut σ(X)=0,89≈0,94.\sigma(X) = \sqrt{0{,}89} \approx 0{,}94.

  4. 4. Calculer l'espérance du traitement B

    E(Y)=0×0,05+1×0,15+2×0,55+3×0,25=0+0,15+1,1+0,75=2.E(Y) = 0 \times 0{,}05 + 1 \times 0{,}15 + 2 \times 0{,}55 + 3 \times 0{,}25 = 0 + 0{,}15 + 1{,}1 + 0{,}75 = 2. Le score moyen attendu avec le traitement B est donc 2.2.

  5. 5. Calculer l'écart-type du traitement B

    Avec m=2m = 2, les écarts au carré sont (0−2)2=4(0 - 2)^2 = 4 ; (1−2)2=1(1 - 2)^2 = 1 ; (2−2)2=0(2 - 2)^2 = 0 ; (3−2)2=1.(3 - 2)^2 = 1. Donc V(Y)=0,05×4+0,15×1+0,55×0+0,25×1=0,2+0,15+0+0,25=0,6.V(Y) = 0{,}05 \times 4 + 0{,}15 \times 1 + 0{,}55 \times 0 + 0{,}25 \times 1 = 0{,}2 + 0{,}15 + 0 + 0{,}25 = 0{,}6. L'écart-type vaut σ(Y)=0,6≈0,77.\sigma(Y) = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}77.

  6. 6. Comparer et conclure

    On compare d'abord la position : le score moyen attendu est plus élevé pour le traitement B (E(Y)=2E(Y) = 2) que pour le traitement A (E(X)=1,9E(X) = 1{,}9). On compare ensuite la dispersion : l'écart-type du traitement B (σ(Y)≈0,77\sigma(Y) \approx 0{,}77) est plus faible que celui du traitement A (σ(X)≈0,94\sigma(X) \approx 0{,}94), donc ses résultats sont plus réguliers. Le traitement B semble préférable : il offre un score moyen attendu plus élevé et des résultats plus homogènes d'un patient à l'autre.
Réponse finale
A:E(X)=1,9, V(X)=0,89, σ(X)≈0,94  ;  B:E(Y)=2, V(Y)=0,6, σ(Y)≈0,77  ;  le traitement B est preˊfeˊrable (score moyen plus eˊleveˊ et dispersion plus faible)\text{A} : E(X) = 1{,}9,\ V(X) = 0{,}89,\ \sigma(X) \approx 0{,}94 \;;\; \text{B} : E(Y) = 2,\ V(Y) = 0{,}6,\ \sigma(Y) \approx 0{,}77 \;;\; \text{le traitement B est préférable (score moyen plus élevé et dispersion plus faible)}
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