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Arbre complet, probabilités totales et indépendance

Énoncé

Soit AA et BB deux événements. On donne P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5 et PA‾(B)=0,5P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5. 1) Calculer P(B)P(B) à l'aide de la formule des probabilités totales. 2) Les événements AA et BB sont-ils indépendants ? Justifier.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La branche A‾\overline{A} se déduit de P(A)P(A) par P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A).
  2. Pour P(B)P(B), additionne les deux chemins de l'arbre qui aboutissent à BB.
  3. Pour l'indépendance, compare P(A∩B)P(A\cap B) au produit P(A)×P(B)P(A)\times P(B) ; tu peux aussi remarquer que PA(B)=PA‾(B)P_A(B) = P_{\overline{A}}(B).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Compléter la première étape de l'arbre

    La branche AA porte P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, donc la branche A‾\overline{A} porte P(A‾)=1−0,6=0,4P(\overline{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 (la somme des branches issues de la racine vaut 11).

  2. 2. Calculer les probabilités des chemins menant à B

    P(A∩B)=P(A)×PA(B)=0,6×0,5=0,3.P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B) = 0{,}6\times 0{,}5 = 0{,}3. P(A‾∩B)=P(A‾)×PA‾(B)=0,4×0,5=0,2.P(\overline{A}\cap B) = P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4\times 0{,}5 = 0{,}2.

  3. 3. Appliquer la formule des probabilités totales

    P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)=0,3+0,2=0,5.P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5. La probabilité de BB est donc P(B)=0,5.P(B) = 0{,}5.

  4. 4. Tester l'indépendance

    On compare P(A∩B)P(A\cap B) et P(A)×P(B).P(A)\times P(B). On a P(A)×P(B)=0,6×0,5=0,3P(A)\times P(B) = 0{,}6\times 0{,}5 = 0{,}3, et on a trouvé P(A∩B)=0,3.P(A\cap B) = 0{,}3. Les deux valeurs sont égales.

  5. 5. Conclure

    On a P(B)=0,5P(B) = 0{,}5, et puisque P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,3P(A\cap B) = P(A)\times P(B) = 0{,}3, les événements AA et BB sont indépendants. On le voyait déjà sur l'arbre : PA(B)=PA‾(B)=0,5=P(B)P_A(B) = P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5 = P(B), donc savoir si AA est réalisé ne change pas la probabilité de BB.
Réponse finale
P(B)=0,3+0,2=0,5etP(A∩B)=0,3=P(A)×P(B)  ⇒  A et B indeˊpendantsP(B) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5 \quad\text{et}\quad P(A\cap B) = 0{,}3 = P(A)\times P(B) \;\Rightarrow\; A \text{ et } B \text{ ind\'ependants}
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