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Rêves Vision
Première STMG

Bénéfice maximal à partir de la recette et du coût

Énoncé

Une entreprise produit et vend xx centaines d'articles, avec 0≤x≤200 \le x \le 20. Sa recette, en milliers d'euros, est R(x)=90xR(x) = 90x et son coût total, en milliers d'euros, est C(x)=3x2+30x+192C(x) = 3x^{2} + 30x + 192. Exprimer le bénéfice B(x)B(x), déterminer la quantité qui le rend maximal et calculer ce bénéfice maximal. Préciser aussi les quantités pour lesquelles l'entreprise est rentable.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le bénéfice est toujours la recette moins le coût : B(x)=R(x)−C(x)B(x) = R(x) - C(x). Distribue bien le signe moins devant la parenthèse.
  2. Une fois B(x)B(x) obtenu sous forme développée, vérifie le signe de aa, puis calcule le sommet avec α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} et B(α)B(\alpha).
  3. Pour la rentabilité, résous B(x)=0B(x) = 0. Tu peux diviser l'équation par −3-3 pour simplifier, puis chercher deux nombres dont la somme est 2020 et le produit 6464.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Exprimer le bénéfice

    Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : B(x)=R(x)−C(x)=90x−(3x2+30x+192).B(x) = R(x) - C(x) = 90x - (3x^{2} + 30x + 192). On distribue le signe moins : B(x)=90x−3x2−30x−192=−3x2+60x−192.B(x) = 90x - 3x^{2} - 30x - 192 = -3x^{2} + 60x - 192.

  2. 2. Repérer la nature de l'extremum

    BB est un trinôme avec a=−3a = -3, b=60b = 60 et c=−192c = -192. Comme a=−3<0a = -3 < 0, la parabole est tournée vers le bas : le bénéfice admet un maximum au sommet.

  3. 3. Calculer la quantité optimale

    La quantité qui maximise le bénéfice est l'abscisse du sommet : α=−b2a=−602×(−3)=−60−6=10.\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{60}{2 \times (-3)} = -\dfrac{60}{-6} = 10. Cette valeur 1010 appartient bien à l'intervalle [0 ;20][0\,;20].

  4. 4. Calculer le bénéfice maximal

    On calcule B(10)=−3×102+60×10−192=−3×100+600−192=−300+600−192=108.B(10) = -3 \times 10^{2} + 60 \times 10 - 192 = -3 \times 100 + 600 - 192 = -300 + 600 - 192 = 108. Le bénéfice maximal vaut donc 108108 (en milliers d'euros).

  5. 5. Déterminer la zone de rentabilité

    L'entreprise est rentable lorsque B(x)>0B(x) > 0. On résout B(x)=0B(x) = 0, soit −3x2+60x−192=0-3x^{2} + 60x - 192 = 0, ce qui équivaut à x2−20x+64=0x^{2} - 20x + 64 = 0 (en divisant par −3-3). On peut factoriser : x2−20x+64=(x−4)(x−16)x^{2} - 20x + 64 = (x - 4)(x - 16), car 4+16=204 + 16 = 20 et 4×16=644 \times 16 = 64. Les racines sont donc x1=4x_1 = 4 et x2=16x_2 = 16. Comme a<0a < 0, B(x)B(x) est positif entre les racines.

  6. 6. Conclure

    Le bénéfice s'écrit B(x)=−3x2+60x−192B(x) = -3x^{2} + 60x - 192. Il est maximal pour x=10x = 10 (soit 1 0001\,000 articles) et vaut alors 108 000 €. L'entreprise est rentable lorsque la production est strictement comprise entre 44 et 1616 centaines d'articles.
Réponse finale
B(x)=−3x2+60x−192 ;maximum 108 pour x=10 ;rentable pour 4<x<16B(x) = -3x^{2} + 60x - 192\ ;\quad \text{maximum } 108 \text{ pour } x = 10\ ;\quad \text{rentable pour } 4 < x < 16
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