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Rêves Vision
Première STMG

Étude complète des variations d'un trinôme

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−3x2+12x−7f(x) = -3x^{2} + 12x - 7. Étudier le sens de variation de ff, dresser son tableau de variations, et préciser l'extremum de la fonction.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le sens de variation d'un trinôme dépend uniquement du signe de aa : si a<0a < 0, la fonction monte puis descend.
  2. Le changement de sens a lieu au sommet, d'abscisse α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}.
  3. Calcule β=f(α)\beta = f(\alpha) pour obtenir la valeur de l'extremum, puis place cette valeur au sommet dans le tableau.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les coefficients et le sens d'ouverture

    On écrit f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c avec a=−3a = -3, b=12b = 12 et c=−7c = -7. Comme a=−3<0a = -3 < 0, la parabole est tournée vers le bas : la fonction va d'abord croître puis décroître, et le sommet sera un maximum.

  2. 2. Calculer l'abscisse du sommet

    L'abscisse du sommet est α=−b2a=−122×(−3)=−12−6=2.\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \times (-3)} = -\dfrac{12}{-6} = 2. C'est en x=2x = 2 que la fonction change de sens de variation.

  3. 3. Calculer l'ordonnée du sommet

    On remplace xx par 22 : β=f(2)=−3×22+12×2−7=−3×4+24−7=−12+24−7=5.\beta = f(2) = -3 \times 2^{2} + 12 \times 2 - 7 = -3 \times 4 + 24 - 7 = -12 + 24 - 7 = 5. Le sommet est donc S(2 ;5)S(2\,;5).

  4. 4. Énoncer le sens de variation

    Puisque a<0a < 0, la fonction ff est croissante sur ]−∞ ;2]]-\infty\,;2], puis décroissante sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[. Le tableau de variations montre donc une flèche montante jusqu'à la valeur 55 atteinte en x=2x = 2, puis une flèche descendante.

  5. 5. Conclure sur l'extremum

    La fonction ff est croissante sur ]−∞ ;2]]-\infty\,;2] puis décroissante sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[. Elle admet un maximum égal à 55, atteint en x=2x = 2. La fonction ne dépasse donc jamais la valeur 55.
Réponse finale
f croissante sur ]−∞ ;2], deˊcroissante sur [2 ;+∞[ ;maximum 5 en x=2f \text{ croissante sur } ]-\infty\,;2],\ \text{décroissante sur } [2\,;+\infty[\ ;\quad \text{maximum } 5 \text{ en } x = 2
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