Fiche méthode · Quatrième

Méthode : développer, réduire et factoriser

Fiche méthode de Quatrième : développer avec la simple et la double distributivité, réduire une expression, factoriser par un facteur commun.

Mis à jour en juin 2026

Le calcul littéral, c’est manipuler des expressions où des lettres remplacent des nombres. Trois gestes reviennent sans cesse : développer pour enlever les parenthèses, réduire pour écrire le plus court possible, et factoriser pour faire réapparaître un produit. Cette fiche te donne une méthode claire pour chacun, sans confondre les sens.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

développer un produit avec la simple distributivité, comme $k(a+b)$ ;
développer un produit de deux parenthèses avec la double distributivité, comme $(a+b)(c+d)$ ;
réduire une expression en regroupant les termes de même nature ;
factoriser une somme en repérant un facteur commun.

Méthode

A. Développer avec la simple distributivité $k(a+b)$ .

Repérer le facteur placé devant la parenthèse (ici $k$ ).
Le multiplier par chaque terme de la parenthèse, en gardant les signes : $k \times a$ puis $k \times b$ .
Réduire la somme obtenue si c’est possible.

B. Développer un produit de deux parenthèses $(a+b)(c+d)$ .

Multiplier le premier terme de la 1re parenthèse par chaque terme de la 2e.
Multiplier le second terme de la 1re parenthèse par chaque terme de la 2e.
Écrire les 4 produits obtenus, puis réduire.

C. Réduire une expression.

Regrouper les termes en $x$ entre eux et les nombres seuls entre eux (ce sont deux natures différentes, on ne les mélange pas).
Additionner ou soustraire leurs coefficients (rappel : $x$ seul vaut $1x$ ).

D. Factoriser par un facteur commun.

Chercher le facteur commun à tous les termes : le plus grand nombre qui les divise, et la lettre présente partout.
Écrire chaque terme comme un produit faisant apparaître ce facteur.
Mettre le facteur commun en facteur devant une parenthèse, puis vérifier en développant.

Exemple résolu

Exemple 1 - simple distributivité.

Développer et réduire $5(2x+3)$ .

On distribue le facteur $5$ à chaque terme : $5(2x+3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15.$
Les termes $10x$ et $15$ sont de natures différentes : l’expression est déjà réduite.

Conclusion : $5(2x+3) = 10x + 15$ .

Exemple 2 - double distributivité.

Développer et réduire $(x+2)(x+3)$ .

On multiplie chaque terme de la 1re parenthèse par chaque terme de la 2e (4 produits) : $(x+2)(x+3) = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3 = x^{2} + 3x + 2x + 6.$
On réduit en regroupant les termes en $x$ : $3x + 2x = 5x$ .

Conclusion : $(x+2)(x+3) = x^{2} + 5x + 6$ .

Exemple 3 - factoriser par un facteur commun.

Factoriser $6x + 9$ .

Le nombre $3$ divise $6$ et $9$ : c’est le facteur commun. On écrit $6x = 3 \times 2x$ et $9 = 3 \times 3$ . $6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x+3).$
Vérification en développant : $3(2x+3) = 6x + 9$ . On retrouve bien le départ.

Conclusion : $6x + 9 = 3(2x+3)$ .

Erreur classique

Faux : ne distribuer qu’au premier terme de la parenthèse, comme $5(2x+3) = 10x + 3$ (on a oublié de multiplier le $3$ ), ou encore réduire $10x + 15$ en $25x$ (on additionne un terme en $x$ avec un nombre seul).

Vrai : on distribue le facteur à tous les termes, et on ne regroupe que les termes de même nature : $5(2x+3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15.$ Ici $10x$ et $15$ ne se regroupent pas : l’expression est terminée.

À retenir

Développer enlève les parenthèses (produit $\rightarrow$ somme) ; factoriser les fait apparaître (somme $\rightarrow$ produit). Ce sont deux opérations inverses, donc elles se contrôlent l’une l’autre : après avoir factorisé, développe ton résultat pour vérifier que tu retombes sur l’expression de départ. C’est gratuit et ça repère tout de suite une erreur.

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Quatrième

Développement et factorisation

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Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut développer ou factoriser ?

Tout dépend de la forme de départ et de ce qu'on te demande. Si l'expression contient des parenthèses précédées d'un facteur, comme 3 fois la parenthèse x plus 4, tu peux développer pour enlever les parenthèses et obtenir une somme. Si l'expression est une somme dont tous les termes ont un facteur commun, comme 6 x plus 9, tu peux factoriser pour la transformer en produit. Développer enlève les parenthèses, factoriser les fait apparaître.

Comment trouver le facteur commun pour factoriser ?

Le facteur commun est ce que l'on retrouve dans tous les termes de la somme. On cherche d'abord le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre présente dans chaque terme. Par exemple, dans 6 x plus 9, le nombre 3 divise 6 et 9, donc le facteur commun est 3 et on écrit 3 fois la parenthèse 2 x plus 3. Pour vérifier, il suffit de développer le résultat : on doit retrouver l'expression de départ.

Pourquoi 3 x plus 12 ne se réduit-il pas en 15 x ?

Parce que 3 x et 12 ne sont pas des termes de même nature. Le terme 3 x contient la lettre x, alors que 12 est un nombre seul. On ne peut additionner entre eux que les termes en x d'un côté, et les nombres seuls de l'autre. L'expression 3 x plus 12 est donc déjà réduite : on ne peut pas la simplifier davantage. On ne pourrait regrouper 3 x avec un autre terme en x, comme 5 x, pour obtenir 8 x.