Quatrième · Chapitre 4

Développement et factorisation

Cours de Quatrième sur le calcul littéral : développer avec la simple et la double distributivité, réduire une expression, factoriser par un facteur commun. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Calcul littéral

Pourquoi écrire $3(x+4)$ plutôt que $3x+12$ , ou l’inverse ? Le calcul littéral, c’est manipuler des expressions où des lettres remplacent des nombres. Développer sert à enlever les parenthèses, factoriser à les faire réapparaître, et réduire à écrire le tout le plus court possible. Ce sont les gestes de base qui te suivront jusqu’aux équations et aux identités remarquables de Troisième.

Ce que tu sauras faire

À la fin de ce chapitre, je sais :

développer un produit avec la simple distributivité, comme $k(a+b)$ ;
développer un produit de deux parenthèses avec la double distributivité, comme $(a+b)(c+d)$ ;
réduire une expression en regroupant les termes de même nature ;
factoriser une somme en repérant un facteur commun ;
tester une égalité en remplaçant la lettre par un nombre.

À quoi ça sert vraiment ?

Imagine que tu prennes 3 abonnements streaming au même prix, ou que tu achètes plusieurs packs dans EA FC qui coûtent tous pareil. Plutôt que de recompter à chaque fois, tu écris une seule expression avec une lettre pour le prix : tu pourras alors la développer ou la réduire pour calculer vite, quel que soit le prix.

Le calcul littéral, c’est exactement ça : écrire une formule une fois pour toutes, qui marche pour n’importe quelle valeur. C’est le langage des maths à partir de la Quatrième.

Vocabulaire de base

Dans une expression littérale :

un terme est un « bloc » séparé des autres par un $+$ ou un $-$ . Dans $3x + 12$ , les termes sont $3x$ et $12$ ;
dans le terme $3x$ , le nombre $3$ est le coefficient et $x$ est la lettre (ou variable) ;
un facteur est un élément d’une multiplication. Dans le produit $3 \times x$ , les facteurs sont $3$ et $x$ .

On n’écrit jamais le signe $\times$ entre un nombre et une lettre : $3 \times x$ s’écrit simplement $3x$ .

Simple distributivité

Pour tous les nombres $k$ , $a$ et $b$ : $k(a+b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a-b) = ka - kb$

On dit qu’on distribue le facteur $k$ : on le multiplie par chacun des termes de la parenthèse.

Développer avec la simple distributivité

On veut transformer un produit comme $k(a+b)$ en une somme.

Repérer le facteur devant la parenthèse (ici $k$ ).
Le multiplier par chaque terme à l’intérieur, en gardant les signes.
Écrire la somme obtenue, puis réduire si c’est possible.

Exemple : développer $3(x+4)$ . $3(x+4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12$

Réduire une expression

Réduire, c’est regrouper les termes de même nature :

les termes « en $x$ » se regroupent entre eux ;
les nombres seuls (sans lettre) se regroupent entre eux.

On additionne (ou soustrait) alors leurs coefficients. Attention : on ne peut pas regrouper un terme en $x$ avec un nombre seul, ce sont des natures différentes.

Exemple : $2x + 5x - x = (2 + 5 - 1)x = 6x$ . (Rappel : $x$ tout seul, c’est $1x$ .)

Double distributivité

Pour développer un produit de deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Il y a donc 4 produits à écrire, puis on réduit.

Développer un produit de deux parenthèses

On veut développer $(x+2)(x+3)$ .

Multiplier le premier terme de la 1re parenthèse par chaque terme de la 2e : $x \times x$ puis $x \times 3$ .
Multiplier le second terme de la 1re parenthèse par chaque terme de la 2e : $2 \times x$ puis $2 \times 3$ .
Écrire les 4 produits, puis réduire.

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Astuce mémo : on suit les 4 flèches (premier-premier, premier-second, second-premier, second-second).

Factoriser : la distributivité dans l'autre sens

Factoriser une somme, c’est l’écrire sous forme de produit, en mettant en évidence un facteur commun $k$ présent dans tous les termes : $ka + kb = k(a+b)$

C’est l’opération inverse du développement.

Factoriser par un facteur commun

On veut factoriser $6x + 9$ .

Chercher un nombre qui divise tous les termes : $6$ et $9$ sont tous deux dans la table de $3$ , donc le facteur commun est $3$ .
Écrire chaque terme comme un produit faisant apparaître ce facteur : $6x = 3 \times 2x$ et $9 = 3 \times 3$ .
Mettre le facteur commun en facteur devant une parenthèse : $6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3)$

Vérification : on développe le résultat. $3(2x+3) = 6x + 9$ . On retrouve bien le départ.

Tester une égalité

Deux expressions sont égales si elles donnent le même résultat pour n’importe quelle valeur de la lettre. Pour tester une égalité proposée, on remplace la lettre par un nombre dans les deux membres :

si les deux membres donnent des résultats différents pour une seule valeur, l’égalité est fausse ;
si les deux membres sont égaux, cela ne prouve pas l’égalité (il faudrait le vérifier pour toute valeur), mais c’est un bon indice. La preuve, elle, vient du développement.

Exemple : l’égalité $3(x+4) = 3x+12$ est-elle vraie pour $x = 5$  ? Membre de gauche : $3(5+4) = 3 \times 9 = 27$ . Membre de droite : $3 \times 5 + 12 = 15 + 12 = 27$ . Mêmes résultats : cohérent (et le développement confirme que c’est vrai pour tout $x$ ).

Les pièges à éviter

Oublier de distribuer à tous les termes. ~~$3(x+4) = 3x + 4$~~ est FAUX (on a oublié de multiplier le $4$ ). Le VRAI : $3(x+4) = 3x + 12$ .
Additionner un terme en $x$ avec un nombre seul. ~~$3x + 12 = 15x$~~ est FAUX : $3x$ et $12$ ne sont pas de même nature, on ne peut pas les regrouper. L’expression $3x + 12$ est déjà réduite.
Oublier un des 4 produits de la double distributivité. ~~$(x+2)(x+3) = x^2 + 6$~~ est FAUX (on a oublié les termes du milieu). Le VRAI : $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ .
Confondre développer et factoriser. Développer enlève les parenthèses (produit $\to$ somme) ; factoriser les fait apparaître (somme $\to$ produit). Ce sont deux sens opposés.

Le réflexe qui sauve : vérifier en développant

Tu viens de factoriser et tu doutes ? Développe ton résultat : tu dois retomber exactement sur l’expression de départ. C’est gratuit, rapide, et ça repère tout de suite une erreur. Développement et factorisation sont des opérations inverses : elles se contrôlent l’une l’autre.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Développer 3 fois la parenthèse x plus 4

Développer l'expression $3(x+4)$ .

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Réduire 2 x plus 5 x moins x

Une vidéo TikTok gagne $x$ vues la première heure. La deuxième heure elle en gagne $2$ fois plus, la troisième heure $5$ fois plus, puis l'heure suivante elle perd l'équivalent de $x$ vues à cause de modérations. Le total des variations s'écrit $2x + 5x - x$ . Réduire cette expression.

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Développer et réduire le produit de deux parenthèses

Développer puis réduire l'expression $(x+2)(x+3)$ .

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Factoriser 6 x plus 9

Dans un jeu, une mise à jour ajoute $6x$ pièces d'or à ton compte (selon ton niveau $x$ ) puis un bonus fixe de $9$ pièces. Le gain total s'écrit $6x + 9$ . Factoriser cette expression.

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Le stock de sneakers à revendre

Tu fais de la revente de sneakers. Le mois dernier tu avais $x$ paires en stock. Ce mois-ci tu en as acheté $5$ de plus, et chaque paire que tu mets en vente est présentée avec $x$ photos plus $8$ photos de détail. Pour estimer le nombre total de photos à prendre, tu dois développer et réduire l'expression $(x+5)(x+8)$ . Développer puis réduire cette expression.

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Factoriser avec un facteur commun contenant la lettre

Une appli de retouche de photos enregistre $8x^{2}$ Go de fichiers temporaires et $12x$ Go de fichiers de cache, où $x$ est un réglage de qualité. L'espace total occupé s'écrit $8x^{2} + 12x$ . Factoriser cette expression au maximum, c'est-à-dire en mettant en facteur le plus grand facteur commun possible.

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Bonus

Le total de trois abonnements streaming avec remise

Le prix d'un abonnement à une plateforme de streaming est de $x$ euros par mois. Tu prends $3$ abonnements (par exemple pour toi et deux amis), et la plateforme applique une remise de $2$ sur chacun. Écrire l'expression du prix total payé, puis la développer et la réduire pour l'écrire le plus simplement possible.

Débloquer l'exercice

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Prouver une égalité, puis en tester une autre

On considère l'expression $A = (x+4)(x+1)$ . Première question : montrer, en développant, que pour tout nombre $x$ on a $A = x^{2} + 5x + 4$ . Deuxième question : un élève affirme que $A = x^{2} + 4$ . En testant la valeur $x = 2$ , montrer que cette deuxième affirmation est fausse.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Que veut dire développer une expression ?

Développer, c'est transformer un produit (une multiplication de parenthèses) en une somme, en supprimant les parenthèses. On utilise pour cela la distributivité : on multiplie le facteur devant la parenthèse par chacun des termes à l'intérieur. Par exemple, développer 3 fois la parenthèse x plus 4 donne 3 x plus 12.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer et factoriser sont deux opérations inverses. Développer transforme un produit en somme (on enlève les parenthèses). Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit en mettant en facteur ce qui est commun à tous les termes. Par exemple, factoriser 6 x plus 9 donne 3 fois la parenthèse 2 x plus 3.

Comment réduire une expression littérale ?

Réduire, c'est regrouper les termes qui se ressemblent pour écrire l'expression plus simplement. On additionne entre eux les termes en x, et séparément les nombres seuls. Par exemple, 2 x plus 5 x moins x se réduit en 6 x, car 2 plus 5 moins 1 égale 6.