Fiche méthode · Première

Méthode : calculer une dérivée et une tangente

Méthode de Première pour dériver une fonction : dérivées usuelles, somme, produit, quotient, équation de la tangente et variations.

Mis à jour en juin 2026

Dériver une fonction, c’est mesurer comment elle varie : le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la courbe au point d’abscisse $a$ . Cette fiche rassemble les dérivées usuelles, les règles de calcul (somme, produit, quotient), la méthode pour écrire l’équation d’une tangente, et le lien entre signe de $f'$ et variations. Un exemple complet relie tout à la fin.

Ce que tu dois savoir faire

Connaître par cœur les dérivées usuelles.
Dériver une somme, un produit $uv$ et un quotient $\dfrac{u}{v}$ .
Écrire l’équation de la tangente en un point.
Déduire les variations de $f$ à partir du signe de $f'$ .

Dérivées usuelles à connaître par cœur

Sur l’intervalle où $f$ est dérivable :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^n$ ( $n$ entier)	$n\,x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Exemples directs : la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ ; celle de $x^2$ est $2x$ .

Opérations sur les dérivées

Pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables et un réel $k$ :

Somme : $(u + v)' = u' + v'$ .
Multiple : $(k\,u)' = k\,u'$ .
Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ .
Quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (là où $v \neq 0$ ).

Pour le quotient, l’ordre compte : c’est $u'v - uv'$ au numérateur, jamais l’inverse.

Écrire l'équation de la tangente en a

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a).$

Calculer $f(a)$ (l’ordonnée du point de contact).
Calculer $f'(x)$ , puis le nombre dérivé $f'(a)$ (le coefficient directeur).
Remplacer dans la formule, puis développer et réduire pour obtenir $y = mx + p$ .

Signe de f' et variations

Le signe de la dérivée donne les variations :

$f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ y est croissante ;
$f'(x) < 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ y est décroissante ;
là où $f'$ s’annule en changeant de signe, $f$ présente un extremum (maximum ou minimum), et la tangente y est horizontale.

Pour dresser le tableau de variations : on étudie le signe de $f'(x)$ , souvent en factorisant ou en utilisant le signe d’un trinôme.

Exemple résolu : tangente et variations

On étudie $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

1 - Calcul de la dérivée. Terme à terme, avec $(x^3)' = 3x^2$ , $(-3x)' = -3$ et $(2)' = 0$ : $f'(x) = 3x^2 - 3.$

2 - Tangente au point d’abscisse $a = 2$ .

Ordonnée du point : $f(2) = 2^3 - 3 \times 2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$ .
Coefficient directeur : $f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 12 - 3 = 9$ .
Équation : $y = f'(2)\,(x - 2) + f(2) = 9\,(x - 2) + 4 = 9x - 18 + 4$ .

La tangente en $x = 2$ a pour équation $y = 9x - 14$ .

3 - Variations à partir du signe de $f'$ . On résout $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ , soit $3(x^2 - 1) = 0$ , donc $3(x - 1)(x + 1) = 0$ : les racines sont $x = -1$ et $x = 1$ . Comme le coefficient de $x^2$ est $3 > 0$ , $f'(x)$ est positive à l’extérieur de $[-1\,;\,1]$ et négative entre $-1$ et $1$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$		$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

On calcule les extremums : $f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ (maximum local) et $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ (minimum local).

Conclusion : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ , décroissante sur $[-1\,;\,1]$ , puis croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ ; la tangente en $x = 2$ est la droite $y = 9x - 14$ .

Les pièges à éviter

FAUX : dériver un produit en multipliant les dérivées, $(uv)' = u'v'$ . VRAI : $(uv)' = u'v + uv'$ .
FAUX : écrire $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$ . VRAI : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
FAUX : confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans la tangente. VRAI : $f'(a)$ est la pente, $f(a)$ l’ordonnée du point ; l’équation est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
FAUX : lire les variations de $f$ directement sur le signe de $f$ . VRAI : ce sont les variations de $f$ qui dépendent du signe de $f'$ , pas de celui de $f$ .

S'entraîner sur ces chapitres

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La dérivation

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Questions fréquentes

Quelle est l'équation de la tangente en un point ?

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a). Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Comment dérive-t-on un produit de deux fonctions ?

La dérivée du produit u fois v est u' fois v plus u fois v'. On ne dérive jamais un produit en multipliant simplement les deux dérivées.

À quoi sert le signe de la dérivée ?

Le signe de f' donne les variations de f : quand f' est positive, f est croissante ; quand f' est négative, f est décroissante ; et f' s'annule en changeant de signe aux extremums.