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Rêves Vision

Première · Chapitre 3

La dérivation

Cours de Première sur la dérivation : nombre dérivé, équation de la tangente, dérivées usuelles, opérations et sens de variation. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Dériver, c’est mesurer comment une fonction varie en chaque point. Le nombre dérivé, c’est la pente de la courbe ; son signe, c’est tout le sens de variation de la fonction. C’est l’outil central de l’analyse au lycée.

Nombre dérivé

Le nombre dérivé de ff en aa, noté f′(a)f'(a), est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse aa. C’est la limite du taux d’accroissement : f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de ff au point d’abscisse aa a pour équation : y=f′(a) (x−a)+f(a)y = f'(a)\,(x - a) + f(a)

Dérivées usuelles

  • (k)′=0\big(k\big)' = 0 (constante) et (x)′=1\big(x\big)' = 1
  • (xn)′=n x n−1\big(x^n\big)' = n\,x^{\,n-1}
  • (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} et (x)′=12x\big(\sqrt{x}\big)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Opérations sur les dérivées

(u+v)′=u′+v′(k u)′=k u′(u + v)' = u' + v' \qquad (k\,u)' = k\,u' (uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2(uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Dérivée et sens de variation

Sur un intervalle II : si f′>0f' > 0, alors ff est croissante ; si f′<0f' < 0, alors ff est décroissante. Là où f′f' s’annule en changeant de signe, ff admet un extremum local.

Étudier les variations d'une fonction

  1. Calculer la dérivée f′(x)f'(x).
  2. Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur l’intervalle.
  3. En déduire le tableau de variations de ff.

Le piège du produit

(uv)′≠u′v′(uv)' \neq u'v' : il faut utiliser la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un nombre dérivé

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2. Calculer f′(x)f'(x), puis le nombre dérivé f′(1)f'(1).

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Dériver une fonction polynôme

Calculer la dérivée de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x3−5x2+1f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 1.

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Dériver un produit

Dériver la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x+1)(x2−3)f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3).

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Dériver un quotient

Dériver la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1x2+1f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 1}.

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Déterminer l'équation d'une tangente

Soit ff la fonction définie par f(x)=x2f(x) = x^2. Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse a=3a = 3.

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Tangente et coût marginal

Une petite entreprise produit qq objets par jour. Son coût total de production, en euros, est modélisé par C(q)=0,5 q2+2q+20C(q) = 0{,}5\,q^2 + 2q + 20 pour q∈[0 ; 40]q \in [0\,;\,40]. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de CC au point d'abscisse q=10q = 10, puis interpréter sa pente.

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Bonus

Étudier les variations de x au cube − 3x

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Étudier ses variations et déterminer ses extremums locaux.

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Optimiser l'aire d'un enclos

On dispose de 4040 mètres de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur. Le mur tient lieu d'un des grands côtés : le grillage ne couvre donc que les deux largeurs et la longueur opposée au mur. On note xx la largeur (en mètres). Déterminer la valeur de xx qui rend l'aire de l'enclos maximale, et donner cette aire maximale.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calculer l'équation d'une tangente ?
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
Quelle est la dérivée de x au carré ?
La dérivée de x au carré est 2x. Plus généralement, la dérivée de x puissance n est n × x puissance (n−1).
À quoi sert la dérivée d'une fonction ?
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : là où f' > 0 la fonction est croissante, là où f' < 0 elle est décroissante. Là où f' s'annule en changeant de signe, il y a un extremum.