Fiche méthode · Terminale

Methode : calculer une integrale

Q: Quelles sont les etapes pour calculer une integrale ?

On cherche d'abord une primitive F de la fonction f sur l'intervalle. On ecrit ensuite le crochet de F entre les deux bornes a et b. Enfin, on calcule F(b) moins F(a) en remplacant x par la borne du haut, puis par la borne du bas. Inutile d'ajouter une constante : elle disparait dans la soustraction.

Q: Comment calculer une aire sous une courbe avec une integrale ?

Si la fonction f est positive sur l'intervalle de a a b, l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales x egal a et x egal b est exactement egale a l'integrale de f entre a et b. Le resultat s'exprime en unites d'aire. Il suffit donc de calculer cette integrale comme d'habitude, avec une primitive.

Q: Comment trouver la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle ?

La valeur moyenne de f sur l'intervalle de a a b est egale a un divise par la longueur de l'intervalle, c'est-a-dire un sur b moins a, multiplie par l'integrale de f entre a et b. On calcule donc d'abord l'integrale, puis on la divise par b moins a. C'est la hauteur du rectangle de meme base qui aurait la meme aire que celle sous la courbe.

Fiche methode de Terminale pour calculer une integrale : primitive, theoreme fondamental, aire sous la courbe et valeur moyenne, avec exemples corriges.

Mis à jour en juin 2026

Calculer une intégrale, c’est mesurer ce que « cumule » une fonction sur un intervalle : une aire sous la courbe, une valeur moyenne, une grandeur physique. Tout repose sur une seule idée, le théorème fondamental : pour intégrer $f$ , on cherche d’abord une primitive $F$ . Cette fiche te donne la méthode pas à pas, puis l’applique à l’aire et à la valeur moyenne.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

calculer une intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ à l’aide d’une primitive $F$ ;
utiliser le théorème fondamental : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ;
interpréter une intégrale comme une aire (en unités d’aire) quand $f$ est positive ;
déterminer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

Méthode

A. Calculer une intégrale (théorème fondamental).

Vérifier que $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et repérer les bornes $a$ (en bas) et $b$ (en haut).
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle. La constante $+k$ est inutile ici.
Écrire le crochet $\big[\,F(x)\,\big]_a^b$ .
Calculer $F(b) - F(a)$ : on remplace $x$ par la borne du haut $b$ , puis par la borne du bas $a$ , et on soustrait dans cet ordre.

B. Calculer une aire. Si $f$ est positive sur $[a\,;\,b]$ , l’aire entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ , en unités d’aire (u.a.).

C. Calculer une valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ (avec $a < b$ ) est $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : on calcule l’intégrale, puis on divise par $b - a$ .

Exemple résolu

Exemple 1 - calculer une intégrale.

Calculons $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$ .

$f$ est continue sur $[0\,;\,2]$ . Une primitive de $3x^2 + 1$ est $F(x) = x^3 + x$ .
On écrit le crochet, puis on remplace par $2$ , puis par $0$ : $\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = \big[\,x^3 + x\,\big]_0^2 = \big(2^3 + 2\big) - \big(0^3 + 0\big) = (8 + 2) - 0 = 10.$

Conclusion : $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = 10$ .

Exemple 2 - une aire sous la courbe.

Soit $f(x) = x^2$ . Sur $[0\,;\,3]$ , on a $f(x) \geq 0$ : $f$ est positive. L’aire sous la courbe entre $x = 0$ et $x = 3$ vaut donc : $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{27}{3} - 0 = 9.$

Conclusion : l’aire vaut $9$ unités d’aire.

Exemple 3 - une valeur moyenne.

Reprenons $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$ . La longueur de l’intervalle est $b - a = 3 - 0 = 3$ , et on a déjà calculé $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = 9$ . Donc : $\mu = \dfrac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} \times 9 = \dfrac{9}{3} = 3.$

Conclusion : la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,3]$ est $\mu = 3$ .

Erreur classique

Faux : inverser l’ordre de la soustraction et calculer $F(a) - F(b)$ . Pour $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$ , on écrirait alors $\dfrac{1^3}{3} - \dfrac{3^3}{3} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{27}{3} = -\dfrac{26}{3}$ , un résultat négatif alors que l’aire d’une fonction positive ne peut pas l’être.

Vrai : c’est toujours la borne du haut moins la borne du bas, soit $F(b) - F(a)$ : $\int_1^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{1^3}{3} = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}.$

À retenir

Une primitive, puis « le haut moins le bas » : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ . Pour une primitive de $x^n$ , on divise par $n+1$ : une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ . Pense aussi à $e^0 = 1$ , donc $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e^1 - e^0 = e - 1$ . Enfin, une aire se donne en unités d’aire et une valeur moyenne se termine par une division par $b - a$ .

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Questions fréquentes

Quelles sont les etapes pour calculer une integrale ?

On cherche d'abord une primitive F de la fonction f sur l'intervalle. On ecrit ensuite le crochet de F entre les deux bornes a et b. Enfin, on calcule F(b) moins F(a) en remplacant x par la borne du haut, puis par la borne du bas. Inutile d'ajouter une constante : elle disparait dans la soustraction.

Comment calculer une aire sous une courbe avec une integrale ?

Si la fonction f est positive sur l'intervalle de a a b, l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales x egal a et x egal b est exactement egale a l'integrale de f entre a et b. Le resultat s'exprime en unites d'aire. Il suffit donc de calculer cette integrale comme d'habitude, avec une primitive.

Comment trouver la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle ?

La valeur moyenne de f sur l'intervalle de a a b est egale a un divise par la longueur de l'intervalle, c'est-a-dire un sur b moins a, multiplie par l'integrale de f entre a et b. On calcule donc d'abord l'integrale, puis on la divise par b moins a. C'est la hauteur du rectangle de meme base qui aurait la meme aire que celle sous la courbe.