Terminale · Chapitre 6

Le calcul intégral

Cours de Terminale sur le calcul intégral : lien primitive-intégrale, aire sous la courbe, linéarité, relation de Chasles et valeur moyenne. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Les primitives

Le calcul intégral prolonge directement le chapitre sur les primitives : il permet de mesurer une aire sous une courbe et, plus généralement, de cumuler les valeurs d’une fonction sur un intervalle. Tout repose sur une idée centrale : pour intégrer $f$ , on commence par en chercher une primitive $F$ .

Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. L’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre réel : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$ On note souvent ce calcul $\big[\,F(x)\,\big]_a^b = F(b) - F(a)$ . Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : la constante s’élimine dans la soustraction.

Calculer une intégrale

Déterminer une primitive $F$ de $f$ (la constante $+k$ est inutile ici).
Écrire $\big[\,F(x)\,\big]_a^b$ .
Calculer $F(b) - F(a)$ en remplaçant $x$ par la borne supérieure $b$ , puis par la borne inférieure $a$ .

Exemple. $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{1^3}{3} = \dfrac{27 - 1}{3} = \dfrac{26}{3}.$

Interprétation comme une aire

Si $f$ est positive sur $[a\,;\,b]$ (c’est-à-dire $f(x) \geq 0$ ), alors $\int_a^b f(x)\,dx$ est égale à l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations $x = a$ et $x = b$ .

Linéarité de l'intégrale

Pour $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ et $k$ un réel :

Somme : $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$
Multiple : $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$

Relation de Chasles

Pour tout réel $c$ de l’intervalle (avec $f$ continue) : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$ On peut ainsi « découper » un intervalle d’intégration en deux morceaux.

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ (avec $a < b$ ) est le nombre : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.$ C’est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui aurait la même aire que celle sous la courbe de $f$ .

Les pièges classiques

Inverser les bornes dans la soustraction : on calcule bien $F(b) - F(a)$ , et non l’inverse.
Oublier qu’une primitive de $x^n$ s’obtient en divisant par $n+1$ : une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ .
Ajouter une constante $+k$ : inutile pour une intégrale, car elle disparaît dans $F(b) - F(a)$ .
Confondre $e^0$ et $0$ : on a $e^0 = 1$ , donc $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e - 1$ , pas $e$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Intégrale d'un multiple par linéarité

Sur une chaîne de streaming, le nombre de spectateurs en direct augmente régulièrement pendant le début d'un live : $h$ heures après le lancement, le débit d'arrivée des spectateurs est modélisé par $f(h) = 3h$ (en milliers de spectateurs par heure), pour $h$ compris entre $0$ et $4$ . Le nombre total de spectateurs arrivés durant ces $4$ premières heures est donné par $\displaystyle\int_0^4 3h\,dh$ . Calculer cette intégrale.

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Intégrale d'une fonction affine

Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^2 2x\,dx$ .

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Intégrale de x au carré entre 1 et 3

Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$ .

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Aire sous une courbe positive

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = x^2 + 1$ . Vérifier que $f$ est positive sur cet intervalle, puis calculer l'aire $\mathcal{A}$ , en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ .

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Découper une intégrale avec la relation de Chasles

Pendant une mise à jour de jeu, la vitesse de téléchargement varie. Au bout de $t$ minutes, le débit utilisé est modélisé par $f(t) = 2t$ (en Go par minute) pour $t$ compris entre $0$ et $6$ . La taille totale téléchargée entre $0$ et $6$ minutes est $\displaystyle\int_0^6 2t\,dt$ , et celle téléchargée durant les $4$ premières minutes est $\displaystyle\int_0^4 2t\,dt$ . À l'aide de la relation de Chasles, déterminer la taille téléchargée entre la $4^{\text{e}}$ et la $6^{\text{e}}$ minute, c'est-à-dire $\displaystyle\int_4^6 2t\,dt$ .

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Intégrale de la fonction exponentielle

Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx$ , puis en donner une valeur arrondie au centième.

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Recette moyenne d'une boutique en ligne

Une boutique en ligne de sneakers ouvre tous les jours. Le $x$ -ième jour après une grosse sortie, sa recette quotidienne est modélisée par $f(x) = 4x + 10$ (en centaines d'euros), pour $x$ compris entre $0$ et $5$ . Déterminer la recette quotidienne moyenne $\mu$ de la boutique sur l'intervalle $[0\,;\,5]$ , puis interpréter ce résultat géométriquement.

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Bonus

Valeur moyenne d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = x^2$ . Déterminer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$ , puis interpréter ce résultat géométriquement.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calcule-t-on une intégrale à partir d'une primitive ?

Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). On note ce calcul [F(x)] entre a et b.

Que représente une intégrale géométriquement ?

Lorsque f est positive sur [a ; b], l'intégrale de f entre a et b est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b.

Qu'est-ce que la valeur moyenne d'une fonction ?

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre μ égal à 1 divisé par (b − a), multiplié par l'intégrale de f entre a et b. C'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui aurait la même aire que celle sous la courbe.