Fiche méthode · Terminale

Méthode : le logarithme népérien

Fiche méthode de Terminale sur le logarithme népérien : propriétés de ln, équations, dérivée, lien avec l'exponentielle et limites, avec exemples corrigés.

Mis à jour en juin 2026

Le logarithme népérien $\ln$ est l’outil qui « défait » l’exponentielle : il fait descendre l’inconnue quand elle est coincée en exposant. Cette fiche te donne une méthode claire pour manier ses propriétés, résoudre une équation, calculer une dérivée et lever une limite.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ (produit, quotient, puissance) ;
exploiter le lien avec l’exponentielle pour faire disparaître un $\ln$ ou un $e$ ;
résoudre une équation avec $\ln$ en pensant au domaine et à la vérification ;
dériver une fonction contenant $\ln$ ;
déterminer les limites de référence, y compris la croissance comparée.

Les formules à connaître par cœur

Pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier $n$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ $\ln(a^{\,n}) = n\,\ln a \qquad \ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln a$ Valeurs et liens à retenir : $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , et pour tout réel $x$ : $\ln(e^{\,x}) = x$ ; pour tout $x > 0$ : $e^{\,\ln x} = x$ .

Méthode

A. Résoudre une équation avec $\ln$ .

Domaine d’abord : impose que chaque argument d’un $\ln$ soit strictement positif.
Regrouper les $\ln$ d’un même côté avec les propriétés (produit, quotient, puissance).
Se ramener à $\ln A = \ln B$ , ou bien à $\ln x = k$ .
Supprimer le $\ln$ :
- $\ln A = \ln B \iff A = B$ ;
- $\ln x = k \iff x = e^{\,k}$ .
Résoudre puis vérifier que chaque solution appartient au domaine.

B. Dériver une fonction avec $\ln$ .

Formule de base sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ .
Avec une fonction $u$ strictement positive : $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ .

C. Lever une limite. Utilise les limites de référence (encadré du bas) plutôt qu’un calcul direct.

Exemple résolu

Exemple 1 - une équation $\ln A = \ln B$ .

Résoudre $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$ .

Domaine : il faut $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$ , donc $x > \dfrac{1}{2}$ et $x > -3$ : au final $x > \dfrac{1}{2}$ .
Les deux membres sont des $\ln$ , donc $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3) \iff 2x - 1 = x + 3$ .
On résout : $2x - x = 3 + 1$ , soit $x = 4$ .
Vérification : $4 > \dfrac{1}{2}$ , la solution est dans le domaine.

Conclusion : l’unique solution est $x = 4$ .

Exemple 2 - une équation $\ln x = k$ .

Résoudre $\ln(3x) = 2$ .

Domaine : il faut $3x > 0$ , donc $x > 0$ .
On supprime le $\ln$ : $\ln(3x) = 2 \iff 3x = e^{\,2}$ .
On isole : $x = \dfrac{e^{\,2}}{3}$ . Comme $e^{\,2} > 0$ , on a bien $x > 0$ .

Conclusion : l’unique solution est $x = \dfrac{e^{\,2}}{3}$ (soit environ $2{,}46$ ).

Exemple 3 - une dérivée.

Dériver $f(x) = \ln(x^{2} + 1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Ici $u(x) = x^{2} + 1 > 0$ et $u'(x) = 2x$ , on applique $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ : $f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}.$

Conclusion : $f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$ .

Erreur classique

Faux : « casser » une somme comme un produit en écrivant $\ln(a + b) = \ln a + \ln b.$ La propriété ne s’applique jamais à une somme.

Vrai : la formule de l’addition concerne le produit : $\ln(ab) = \ln a + \ln b.$ Autre réflexe oublié : la vérification du domaine. Une « solution » négative trouvée pour $\ln x = \dots$ doit être rejetée, car $\ln$ n’existe que pour $x > 0$ .

Limites de référence

Aux bornes de $\left]0\,;\,+\infty\right[$ : $\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ Croissance comparée (en $+\infty$ , l’exponentielle puis $x$ « gagnent » contre $\ln$ ) : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x\,\ln x = 0$

À retenir

Domaine d’abord, vérification à la fin : ce sont les deux réflexes qui font gagner des points sur les équations avec $\ln$ . Pour dériver, retiens $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ . Et pour une limite, ne calcule pas « à la main » : reconnais une forme de référence, surtout la croissance comparée $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ .

S'entraîner sur ces chapitres

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La fonction logarithme népérien

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec ln ?

On commence par chercher le domaine : tous les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs. On se ramène ensuite soit à ln A = ln B, ce qui donne A = B, soit à ln x = k, ce qui donne x égal à e puissance k. On termine en vérifiant que chaque solution trouvée appartient bien au domaine de départ.

Quel est le lien entre ln et la fonction exponentielle ?

La fonction ln est la fonction réciproque de l'exponentielle : l'une défait ce que fait l'autre. Pour tout réel x, ln de e puissance x vaut x. Pour tout x strictement positif, e puissance ln x vaut x. C'est ce lien qui permet de faire disparaître un logarithme ou une exponentielle dans une équation.

Pourquoi la fonction ln est-elle strictement croissante ?

Sur l'intervalle des réels strictement positifs, la dérivée de ln est un sur x. Comme x est positif, un sur x est toujours strictement positif. Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante : donc si a est plus petit que b, alors ln a est plus petit que ln b.