Terminale · Chapitre 1

La fonction logarithme népérien

Cours de Terminale sur la fonction logarithme népérien (ln) : définition, propriétés algébriques, dérivée et résolution d'équations, avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

La fonction exponentielle

La fonction logarithme népérien est l’inverse de l’exponentielle : elle « défait » ce que fait $e^x$ . C’est l’outil qui permet de résoudre les équations où l’inconnue est en exposant, et elle est partout en sciences (pH, décibels, croissance).

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ . Pour tout $x > 0$ : $y = \ln x \iff x = e^{\,y}$ En particulier, $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ .

Relations avec l'exponentielle

Pour tout réel $x$ : $\ln(e^{\,x}) = x$ . Pour tout $x > 0$ : $e^{\,\ln x} = x$ .

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier $n$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ $\ln(a^{\,n}) = n\,\ln a \qquad \ln(\sqrt{a}) = \tfrac{1}{2}\ln a$

Dérivée et variations

La fonction $\ln$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et : $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ Comme $\dfrac{1}{x} > 0$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ , la fonction $\ln$ est strictement croissante.

Résoudre une équation logarithmique

Déterminer le domaine : tous les arguments des $\ln$ doivent être strictement positifs.
Se ramener à $\ln A = \ln B$ (puis $A = B$ ) ou à $\ln x = k$ (puis $x = e^{\,k}$ ).
Vérifier que les solutions appartiennent bien au domaine.

Le piège classique

$\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ . La propriété concerne le produit ( $\ln(ab)$ ), jamais la somme.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Résoudre l'équation e puissance x = 5

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{\,x} = 5$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Simplifier une expression avec ln

Simplifier l'expression $A = \ln 6 - \ln 2$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Simplifier une expression avec ln (stockage)

La capacité d'un disque, exprimée en Go, fait apparaître l'expression $A = \ln 8 - 3\ln 2$ . Simplifier $A$ pour obtenir une valeur exacte.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Abonnés TikTok et équation logarithmique

Léa anime un compte TikTok. Elle a remarqué que le nombre $x$ (en milliers) d'abonnés de son compte et le nombre $x - 200$ (en milliers) d'abonnés d'un compte concurrent vérifient la relation $\ln(x) - \ln(x - 200) = \ln 3$ . Déterminer le nombre $x$ d'abonnés (en milliers) du compte de Léa.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Résoudre ln(2x − 1) = 0

Résoudre l'équation $\ln(2x - 1) = 0$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Résoudre ln(x) + ln(x − 3) = ln 4

Résoudre l'équation $\ln(x) + \ln(x - 3) = \ln 4$ .

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Étudier les variations de x − ln(x)

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = x - \ln x$ . Étudier ses variations et en déduire son minimum.

Débloquer l'exercice

Gratuit · corrigé

Tangente et seuil sur un temps de visionnage

Une plateforme de streaming modélise le temps de visionnage cumulé (en milliers d'heures) après $x$ jours, pour $x \geqslant 1$ , par la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = 5\ln x$ . 1) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ . 2) Résoudre l'équation $f(x) = 5$ et interpréter le résultat.

Voir l'exercice corrigé

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés du logarithme népérien ?

Pour a > 0 et b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a divisé par b) = ln a − ln b, et ln(a puissance n) = n × ln a.

Comment résoudre une équation avec ln ?

On utilise l'équivalence ln x = k ⟺ x = e puissance k, valable pour x > 0. On vérifie toujours que les solutions trouvées rendent tous les arguments du logarithme strictement positifs.

Quelle est la dérivée de ln(x) ?

La dérivée de la fonction ln est un sur x sur l'intervalle ]0 ; +∞[. Comme un sur x > 0, la fonction ln est strictement croissante.