Fiche méthode · Première

Méthode : la loi binomiale

Fiche méthode de Première : reconnaître un schéma de Bernoulli et calculer P(X=k) avec la loi binomiale, le coefficient binomial et l'espérance np.

Mis à jour en juin 2026

La loi binomiale modélise toutes les situations où l’on répète une même expérience à deux issues et où l’on compte les succès : lancer 20 fois une pièce et compter les piles, tester 10 composants et compter les défectueux. Le piège est d’oublier le coefficient binomial ou de mélanger les exposants. Cette fiche te donne une méthode sûre pour calculer $P(X = k)$ .

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

reconnaître un schéma de Bernoulli et identifier ses paramètres $n$ et $p$ ;
calculer une probabilité $P(X = k)$ avec la formule de la loi binomiale ;
traiter un « au moins un succès » par l’événement contraire ;
calculer l’espérance $E(X) = np$ , le nombre moyen de succès.

Méthode

A. Calculer une probabilité $P(X = k)$ .

Vérifier le schéma de Bernoulli : une expérience à deux issues (succès $S$ de probabilité $p$ , échec $\bar{S}$ de probabilité $1 - p$ ), répétée de façon identique et indépendante.
Identifier les paramètres : le nombre de répétitions $n$ et la probabilité de succès $p$ . Conclure que $X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$ , où $X$ compte les succès.
Appliquer la formule en repérant le nombre de succès $k$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, (1 - p)^{\,n - k}.$
Calculer chaque facteur séparément : le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (touche $\boxed{\text{nCr}}$ ), puis $p^{k}$ et $(1 - p)^{\,n - k}$ .

B. Calculer un « au moins un succès ».

On passe par l’événement contraire « aucun succès » : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0).$

C. Calculer le nombre moyen de succès. On utilise l’espérance $E(X) = n\,p$ .

Exemple résolu

Exemple 1 - calculer $P(X = k)$ .

On lance $5$ fois un dé équilibré. On appelle « succès » l’obtention d’un $6$ . Soit $X$ le nombre de $6$ obtenus. Calculer $P(X = 2)$ .

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli à deux issues : obtenir un $6$ (succès, $p = \dfrac{1}{6}$ ) ou non (échec, $1 - p = \dfrac{5}{6}$ ). Les $5$ lancers sont identiques et indépendants, donc $X \sim \mathcal{B}\left(5 \,;\, \dfrac{1}{6}\right)$ .
On veut $k = 2$ succès. La formule donne : $P(X = 2) = \binom{5}{2} \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}.$
On calcule chaque facteur : $\dbinom{5}{2} = 10$ , $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} = \dfrac{1}{36}$ et $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} = \dfrac{125}{216}$ . Donc : $P(X = 2) = 10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} = \dfrac{1250}{7776} = \dfrac{625}{3888} \approx 0{,}16.$

Conclusion : $P(X = 2) = \dfrac{625}{3888} \approx 0{,}16$ .

Exemple 2 - « au moins un » et espérance.

Une machine produit des pièces, dont $10\%$ sont défectueuses. On en prélève $4$ au hasard (le stock est assez grand pour considérer les tirages indépendants). Soit $Y$ le nombre de pièces défectueuses : $Y \sim \mathcal{B}(4 \,;\, 0{,}1)$ .

Probabilité d’avoir au moins une pièce défectueuse. On passe par le contraire « aucune défectueuse » : $P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - \binom{4}{0}\,(0{,}1)^{0}\,(0{,}9)^{4}.$ Or $\dbinom{4}{0} = 1$ et $(0{,}9)^{4} = 0{,}6561$ , donc $P(Y \geqslant 1) = 1 - 0{,}6561 = 0{,}3439$ .
Nombre moyen de pièces défectueuses. L’espérance vaut : $E(Y) = n\,p = 4 \times 0{,}1 = 0{,}4.$

Conclusion : $P(Y \geqslant 1) = 0{,}3439$ et on attend en moyenne $E(Y) = 0{,}4$ pièce défectueuse sur les $4$ prélevées.

Erreur classique

Faux : calculer $P(X = 2)$ pour $5$ lancers de dé en écrivant $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}$ sans le coefficient binomial. On ne compte alors qu’un seul chemin (par exemple succès-succès-échec-échec-échec) au lieu des $\dbinom{5}{2} = 10$ chemins possibles.

Vrai : le coefficient binomial multiplie la probabilité d’un chemin par le nombre de chemins : $P(X = 2) = \binom{5}{2} \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} = 10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} \approx 0{,}16.$ Pense aussi à ne pas inverser les exposants : $p$ est élevé à la puissance $k$ (les succès), et $1 - p$ à la puissance $n - k$ (les échecs).

À retenir

Trois facteurs, dans l’ordre : combien de chemins ( $\dbinom{n}{k}$ ), la proba des succès ( $p^{k}$ ), la proba des échecs ( $(1 - p)^{\,n - k}$ ). L’exposant de $p$ est le nombre de succès $k$ ; les deux exposants s’additionnent toujours pour donner $n$ . Pour « au moins un », réflexe contraire : $1 - P(X = 0)$ . Et le nombre moyen de succès, c’est tout simplement $E(X) = n\,p$ .

S'entraîner sur ces chapitres

Première

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

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Questions fréquentes

Comment reconnaître qu'on peut utiliser la loi binomiale ?

Il faut un schéma de Bernoulli : on répète plusieurs fois une même expérience qui n'a que deux issues, succès ou échec. Les répétitions doivent être identiques (même probabilité de succès à chaque fois) et indépendantes (un résultat n'influence pas les suivants). Si ces conditions sont réunies et que l'on compte le nombre de succès, alors ce nombre suit une loi binomiale.

À quoi sert le coefficient binomial dans la formule ?

Le coefficient binomial, noté k parmi n, compte le nombre de façons d'obtenir exactement k succès parmi les n répétitions, c'est-à-dire le nombre de chemins de l'arbre qui mènent à k succès. Sans lui, on ne compterait qu'un seul chemin au lieu de tous : on l'obtient à la calculatrice avec la touche nCr ou avec le triangle de Pascal.

Comment calculer le nombre moyen de succès avec une loi binomiale ?

Le nombre moyen de succès est donné par l'espérance, qui vaut le nombre de répétitions multiplié par la probabilité de succès, soit n fois p. Par exemple, si l'on lance 50 fois une pièce équilibrée, on attend en moyenne 50 multiplié par 0,5, c'est-à-dire 25 piles.