Fiche méthode · Troisième

Methode : calculer une probabilite

Fiche methode de Troisieme : calculer une probabilite par denombrement, utiliser l'evenement contraire et un arbre a deux epreuves. Brevet.

Mis à jour en juin 2026

Calculer une probabilite, c’est mesurer la chance qu’un evenement se produise par un nombre compris entre $0$ et $1$ . Au brevet, trois outils reviennent sans cesse : le denombrement en situation d’equiprobabilite, l’evenement contraire, et l’arbre des possibles pour une experience a deux epreuves. Cette fiche te donne une methode claire pour chacun.

Objectifs

A la fin de cette fiche, tu sais :

calculer une probabilite par denombrement avec la formule $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ ;
simplifier la fraction obtenue et verifier qu’elle est bien entre $0$ et $1$ ;
utiliser l’evenement contraire $\overline{A}$ avec $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ;
calculer une probabilite a l’aide d’un arbre a deux epreuves (multiplier puis additionner).

Methode

A. Calculer une probabilite par denombrement (equiprobabilite).

Decrire l’experience et compter le nombre total d’issues possibles.
Compter le nombre d’issues favorables a l’evenement cherche.
Ecrire le quotient $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$ .
Simplifier la fraction quand c’est possible.

B. Utiliser l’evenement contraire.

Reperer que l’evenement contraire $\overline{A}$ est plus simple a compter (souvent avec « au moins un… »).
Calculer $P(\overline{A})$ .
En deduire $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ .

C. Calculer une probabilite avec un arbre (deux epreuves).

Construire l’arbre : une branche par issue de la premiere epreuve, puis de la seconde.
Inscrire la probabilite sur chaque branche.
Multiplier les probabilites le long du chemin cherche.
Si plusieurs chemins conviennent, additionner leurs probabilites.

Exemple resolu

Exemple 1 - denombrement.

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Quelle est la probabilite de tirer un coeur ?

Le nombre total d’issues possibles est $32$ (les $32$ cartes, toutes equiprobables).
Les issues favorables sont les coeurs : il y en a $8$ .
On ecrit le quotient : $P(\text{coeur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}.$

Conclusion : la probabilite de tirer un coeur est $\dfrac{1}{4}$ .

Exemple 2 - evenement contraire.

Avec ce meme jeu de $32$ cartes, quelle est la probabilite de ne pas tirer un coeur ?

L’evenement « ne pas tirer un coeur » est le contraire de « tirer un coeur », donc : $P(\overline{\text{coeur}}) = 1 - P(\text{coeur}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$

Conclusion : la probabilite de ne pas tirer un coeur est $\dfrac{3}{4}$ .

Exemple 3 - arbre a deux epreuves.

On lance deux fois une piece equilibree (Pile ou Face). Quelle est la probabilite d’obtenir exactement un Pile ?

A chaque lancer, $P(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2}$ et $P(\text{Face}) = \dfrac{1}{2}$ .
Deux chemins conviennent : « Pile puis Face » et « Face puis Pile ». On multiplie le long de chaque chemin : $P(\text{Pile puis Face}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}, \qquad P(\text{Face puis Pile}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}.$
On additionne les deux chemins : $P(\text{exactement un Pile}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.$

Conclusion : la probabilite d’obtenir exactement un Pile est $\dfrac{1}{2}$ .

Erreur classique

Faux : le long d’un chemin de l’arbre, additionner les probabilites. Pour « Pile puis Pile », on ecrirait $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ , ce qui donnerait une probabilite certaine, alors que ce resultat n’arrive pas a tous les coups.

Vrai : le long d’un chemin, on multiplie : $P(\text{Pile puis Pile}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}.$ On n’additionne que pour reunir plusieurs chemins differents.

A retenir

Une probabilite est toujours entre $0$ et $1$ : un resultat plus grand que $1$ signale une erreur. Pour le denombrement, $P(A) = \dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ , puis on simplifie. Pour le contraire, $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ (et non $\dfrac{1}{P(A)}$ ). Dans un arbre : le long d’un chemin on multiplie, entre plusieurs chemins on additionne.

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Troisième

Les probabilités

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Questions fréquentes

Comment calculer une probabilite en situation d'equiprobabilite ?

Quand toutes les issues ont la meme chance, on compte le nombre d'issues favorables a l'evenement, puis le nombre total d'issues possibles, et on divise le premier par le second. Par exemple, pour obtenir un nombre pair avec un de a six faces, il y a 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6 possibles, donc la probabilite vaut 3 divise par 6, soit un demi. On pense ensuite a simplifier la fraction obtenue.

Comment utiliser l'evenement contraire pour aller plus vite ?

L'evenement contraire de A, note A barre, est realise exactement quand A ne l'est pas. Comme la somme de toutes les probabilites vaut 1, on a P(A barre) egal a 1 moins P(A). Cette astuce est tres utile pour les enonces du type au moins un : on calcule la probabilite de l'evenement contraire, souvent plus simple, puis on soustrait a 1. Attention, on calcule 1 moins P(A), jamais 1 divise par P(A).

Quand multiplie-t-on et quand additionne-t-on dans un arbre ?

On multiplie les probabilites le long d'un meme chemin, c'est-a-dire pour obtenir la probabilite d'un resultat des deux epreuves. On additionne seulement quand plusieurs chemins differents conviennent au resultat cherche. La regle a retenir est simple : le long d'un chemin on multiplie, entre plusieurs chemins on additionne.