Troisième · Chapitre 11

Les probabilités

Cours de Troisième sur les probabilités (brevet) : expérience aléatoire, équiprobabilité, événement contraire et expérience à deux épreuves avec arbre. Exercices corrigés.

10 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue de loterie : dans toutes ces situations, on ne connaît pas le résultat à l’avance. Les probabilités mesurent la chance qu’un événement se produise, par un nombre compris entre $0$ (impossible) et $1$ (certain). Au brevet, on calcule des probabilités par dénombrement, on utilise l’événement contraire, et l’on étudie des expériences à deux épreuves à l’aide d’un arbre des possibles.

Expérience aléatoire, issue, événement

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Chaque résultat possible est une issue.
Un événement est un ensemble d’issues (par exemple « obtenir un nombre pair »).

Par exemple, lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire dont les issues sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .

Probabilité d'un événement

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure sa chance de se réaliser.

Une probabilité égale à $0$ correspond à un événement impossible, une probabilité égale à $1$ à un événement certain.
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience vaut toujours $1$ .

Situation d'équiprobabilité

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. La probabilité d’un événement $A$ est alors : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$

Par exemple, avec un dé équilibré, obtenir un nombre pair (les issues $2$ , $4$ , $6$ ) a pour probabilité $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Calculer une probabilité par dénombrement

Décrire l’expérience et compter le nombre total d’issues possibles.
Compter le nombre d’issues favorables à l’événement cherché.
En situation d’équiprobabilité, écrire le quotient $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ .
Simplifier la fraction lorsque c’est possible.

Exemple : dans un jeu de $32$ cartes, la probabilité de tirer un cœur est $\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ , car il y a $8$ cœurs sur $32$ cartes.

Événement contraire

L’événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est réalisé exactement quand $A$ ne l’est pas. Comme la somme des probabilités vaut $1$ : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Par exemple, si $P(A) = 0{,}3$ , alors $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ .

Utiliser l'événement contraire

L’événement contraire est utile lorsqu’il est plus simple à compter que l’événement de départ (souvent avec « au moins un… »).

Identifier l’événement contraire de celui que l’on cherche.
Calculer sa probabilité $P(\overline{A})$ .
En déduire $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ .

Expérience à deux épreuves et arbre des possibles

Une expérience à deux épreuves se déroule en deux étapes successives (par exemple lancer un dé deux fois, ou tirer deux boules l’une après l’autre).

On la représente par un arbre des possibles : chaque épreuve correspond à un niveau de branches, et on inscrit sur chaque branche la probabilité de l’issue correspondante.

Probabilité d'un chemin (on multiplie)

La probabilité d’un chemin de l’arbre (c’est-à-dire d’un résultat des deux épreuves) s’obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ses branches.

Si un chemin correspond à une première issue de probabilité $p_1$ puis à une seconde de probabilité $p_2$ , alors la probabilité de ce chemin est : $p_1 \times p_2$

Calculer une probabilité avec un arbre

Construire l’arbre : une branche par issue de la première épreuve, puis de la seconde.
Inscrire la probabilité sur chaque branche.
Pour un résultat donné, multiplier les probabilités le long du chemin.
Si plusieurs chemins conviennent, additionner les probabilités de ces chemins.

Exemple : on lance deux fois une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir « pile puis pile » est $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ .

Les pièges à éviter

Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : un résultat $> 1$ signale une erreur de calcul.
Ne pas oublier de simplifier la fraction obtenue (par exemple $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ).
Pour l’événement contraire, on calcule $1 - P(A)$ , et non $\dfrac{1}{P(A)}$ .
Le long d’un chemin de l’arbre, on multiplie les probabilités ; on n’additionne que pour réunir plusieurs chemins différents.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Lancer d'un dé équilibré

On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$ . Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ , puis la probabilité d'obtenir un $8$ .

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Tirage d'une carte dans un jeu de 32

On tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $32$ cartes (il contient $4$ couleurs de $8$ cartes chacune, dont $4$ rois). Calculer la probabilité de tirer un cœur, puis la probabilité de tirer un roi.

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Au moins une skin rare en deux loot box

Dans ton jeu préféré, chaque loot box que tu ouvres a une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ de contenir une skin rare. Tu ouvres deux loot box de suite, et l'ouverture de la seconde ne dépend pas de celle de la première. Tu veux estimer tes chances de repartir avec au moins une skin rare. 1) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir de skin rare en ouvrant une seule loot box ? 2) Quelle est la probabilité de n'obtenir aucune skin rare sur les deux ouvertures ? 3) En déduire la probabilité d'obtenir au moins une skin rare sur les deux ouvertures.

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Deux lancers de dé : arbre et produit

On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces. C'est une expérience à deux épreuves avec remise (le dé est intact au second lancer). Calculer la probabilité d'obtenir un $6$ aux deux lancers, puis la probabilité d'obtenir un nombre pair aux deux lancers.

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Fréquences d'écoute en streaming

Sur son application de streaming, Lina a écouté $200$ titres ce mois-ci. L'appli a classé chaque écoute par style : $80$ titres de rap FR, $50$ de pop, $40$ de drill et $30$ d'autres styles. On choisit au hasard l'une de ces $200$ écoutes et on estime la probabilité par la fréquence observée. 1) Calculer la probabilité que l'écoute soit du rap FR. 2) Calculer la probabilité que ce soit de la drill. 3) Calculer la probabilité que ce ne soit pas de la pop.

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Ouverture d'un pack EA FC

Dans EA FC, un pack contient $24$ cartes de joueurs, toutes équiprobables au tirage : $18$ cartes communes, $4$ cartes rares et $2$ cartes légendaires. On ouvre le pack et on regarde la première carte qui apparaît. 1) Calculer la probabilité que cette carte soit légendaire. 2) Calculer la probabilité qu'elle soit rare. 3) En utilisant l'événement contraire, calculer la probabilité qu'elle ne soit pas commune.

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Probabilité d'un événement contraire

1) La météo annonce une probabilité de pluie de $0{,}35$ pour demain. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ? 2) Un sac contient des billes rouges et d'autres couleurs ; la probabilité de tirer une bille rouge est $\dfrac{3}{10}$ . Quelle est la probabilité de tirer une bille qui n'est pas rouge ?

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Deux stickers tirés sans remise dans la trousse

Dans ta trousse, tu as collectionné $5$ stickers indiscernables au toucher : $3$ stickers hype et $2$ stickers basiques. Tu en tires un au hasard, tu le colles sur ton ordi (donc tu ne le remets pas), puis tu en tires un second. Le tirage se fait donc sans remise. On note H « tirer un sticker hype » et B « tirer un sticker basique ». 1) Construire l'arbre pondéré de cette expérience à deux tirages. 2) Calculer la probabilité de tirer deux stickers hype. 3) Calculer la probabilité de tirer exactement un sticker hype.

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Bonus

Deux tirages avec remise dans une urne

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne ; on tire alors une seconde boule. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges, puis la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.

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Tableau à double entrée : commandes au food truck

Un food truck a noté les $100$ commandes d'un midi en croisant deux choix : le plat (burger ou tacos) et la boisson (soda ou eau). Les résultats sont : burger et soda $30$ ; burger et eau $15$ ; tacos et soda $35$ ; tacos et eau $20.$ On choisit une commande au hasard parmi ces $100.$ 1) Recopier et compléter le tableau à double entrée avec les totaux. 2) Calculer la probabilité que la commande contienne un burger. 3) Calculer la probabilité que ce soit « tacos et soda ». 4) Calculer la probabilité que la commande contienne des tacos ou de l'eau.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité ?

Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement A se calcule en divisant le nombre d'issues favorables à A par le nombre total d'issues possibles : P(A) = (nombre d'issues favorables) divisé par (nombre d'issues possibles). Par exemple, pour obtenir un nombre pair avec un dé à six faces, il y a 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6 possibles, donc P = 3 divisé par 6, soit un demi.

Que vaut la probabilité de l'événement contraire ?

L'événement contraire de A, noté A barre, est réalisé exactement quand A ne l'est pas. Comme la somme de toutes les probabilités vaut 1, on a P(A barre) = 1 − P(A). Par exemple, si la probabilité qu'il pleuve est 0,35, alors la probabilité qu'il ne pleuve pas est 1 − 0,35 = 0,65.

Comment utiliser un arbre des possibles pour une expérience à deux épreuves ?

On construit un arbre où chaque branche porte la probabilité d'une issue, puis on suit le chemin correspondant au résultat cherché. La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ses branches. Si plusieurs chemins conviennent, on additionne ensuite les probabilités de ces chemins.