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Fiche méthode · Première

Méthode : le produit scalaire

Fiche méthode de Première : produit scalaire. Choisir la bonne expression, calculer avec les coordonnées et prouver que deux vecteurs sont orthogonaux.

Mis à jour en juin 2026

Le produit scalaire possède plusieurs expressions qui donnent toutes le même nombre. Toute la difficulté est de choisir la bonne selon les données de l’énoncé : des coordonnées, des longueurs et un angle, ou un projeté. Cette fiche te donne le réflexe pour chaque situation, et la méthode pour démontrer qu’un angle est droit.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

  • choisir la bonne expression du produit scalaire selon les données ;
  • calculer un produit scalaire à partir des coordonnées dans un repère orthonormé ;
  • calculer un produit scalaire à partir des normes et de l’angle ;
  • démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux ;
  • calculer une norme grâce au produit scalaire.

Méthode

A. Choisir la bonne expression. Le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} est toujours un nombre réel. Selon les données :

  1. Coordonnées connues (repère orthonormé), u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y') : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′.\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'.
  2. Normes et angle connus, avec θ\theta l’angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ.\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta.
  3. Projeté connu : si HH est le projeté orthogonal de l’extrémité de v⃗\vec{v} sur la droite portant u⃗\vec{u}, le produit scalaire est ∥u⃗∥\|\vec{u}\| multiplié par la longueur algébrique du projeté (positive si même sens que u⃗\vec{u}, négative sinon).

B. Étudier l’orthogonalité.

  1. Déterminer les coordonnées des deux vecteurs.
  2. Calculer le produit scalaire xx′+yy′x x' + y y'.
  3. Conclure : si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, alors u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} ; sinon, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

C. Calculer une norme. On utilise u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^{2}, donc ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Exemple résolu

Exemple 1 - avec les coordonnées (orthogonalité).

Dans un repère orthonormé, u⃗ (3 ; −1)\vec{u}\,(3\,;\,-1) et v⃗ (2 ; 6)\vec{v}\,(2\,;\,6). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?

  • On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on additionne : u⃗⋅v⃗=3×2+(−1)×6=6−6=0.\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 6 = 6 - 6 = 0.
  • Le produit scalaire est nul.

Conclusion : u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, donc les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux.

Exemple 2 - avec les normes et l’angle.

On donne ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3 et un angle θ=60∘\theta = 60^{\circ} entre les deux vecteurs. On utilise l’expression avec le cosinus, avec cos⁡60∘=12\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ=4×3×12=6.\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6.

Conclusion : u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6.

Exemple 3 - calculer une norme.

Avec u⃗ (3 ; −1)\vec{u}\,(3\,;\,-1) de l’exemple 1, on calcule sa longueur : ∥u⃗∥=x2+y2=32+(−1)2=9+1=10.\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.

Conclusion : ∥u⃗∥=10\|\vec{u}\| = \sqrt{10}.

Erreur classique

Faux : avec u⃗ (2 ; 3)\vec{u}\,(2\,;\,3) et v⃗ (5 ; 1)\vec{v}\,(5\,;\,1), multiplier en croix l’abscisse de l’un par l’ordonnée de l’autre : u⃗⋅v⃗=2×1+3×5=17.(faux)\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 3 \times 5 = 17. \quad \text{(faux)}

Vrai : on multiplie les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles, jamais en croix : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′=2×5+3×1=10+3=13.\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' = 2 \times 5 + 3 \times 1 = 10 + 3 = 13.

Le produit scalaire est un nombre, jamais un vecteur : écrire « u⃗⋅v⃗=w⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w} » n’a aucun sens.

À retenir

Coordonnées →\rightarrow xx′+yy′x x' + y y' ; longueurs et angle →\rightarrow ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta. Pour l’orthogonalité, un seul test : le produit scalaire vaut-il 00 ? Et son signe te renseigne sur l’angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.

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Le produit scalaire

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Questions fréquentes

Quelle expression du produit scalaire faut-il utiliser ?
Tout dépend des données. Si on connaît les coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé, on utilise l'expression avec les coordonnées : on multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on additionne. Si on connaît les normes (longueurs) et l'angle entre les vecteurs, on utilise l'expression avec le cosinus. Et si l'énoncé parle de projeté, on utilise l'expression avec le projeté orthogonal.
Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. En pratique, on calcule le produit scalaire, le plus souvent avec les coordonnées : on multiplie les abscisses, on multiplie les ordonnées, on additionne. Si le résultat vaut zéro, les deux vecteurs sont orthogonaux ; sinon, ils ne le sont pas.
Le produit scalaire peut-il être négatif ?
Oui. Le produit scalaire est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul. Son signe renseigne sur l'angle entre les deux vecteurs : il est positif si l'angle est aigu, nul si l'angle est droit (vecteurs orthogonaux), et négatif si l'angle est obtus. Le produit scalaire n'est jamais un vecteur, c'est toujours un nombre.