Première · Chapitre 6

Le produit scalaire

Cours de Première sur le produit scalaire : définition, expression analytique, orthogonalité et norme. Avec exercices corrigés pas à pas.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Les vecteurs : coordonnées, relation de Chasles et colinéarité

Le produit scalaire est l’outil qui relie la géométrie (longueurs, angles, perpendicularité) au calcul. Avec lui, démontrer qu’un angle est droit revient à vérifier qu’un nombre est nul.

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$ où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs. C’est un nombre, pas un vecteur.

Expression analytique (repère orthonormé)

Si $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ dans un repère orthonormé, alors : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$

Produit scalaire et norme

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ Ainsi, pour $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux

Déterminer les coordonnées des deux vecteurs.
Calculer le produit scalaire $x x' + y y'$ .
S’il est nul, les vecteurs sont orthogonaux.

L'erreur à éviter

Le produit scalaire est un scalaire (un nombre réel) : écrire « $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w}$ » n’a aucun sens.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Calculer un produit scalaire

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\,(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}\,(4\,;\,1)$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\,(2\,;\,3)$ et $\vec{v}\,(-3\,;\,2)$ . Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Calculer une norme

Dans un repère orthonormé, calculer la norme du vecteur $\vec{u}\,(3\,;\,4)$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Produit scalaire à partir d'un angle

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\|\vec{u}\| = 2$ , $\|\vec{v}\| = 3$ et forment un angle de $60°$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Trouver l'angle entre deux vecteurs

Sur l'écran d'une appli de montage vidéo, deux poignées partent du même point. On les modélise par les vecteurs $\vec{u}\,(2\,;\,0)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,3)$ dans un repère orthonormé. Déterminer la mesure de l'angle $\theta$ formé par ces deux vecteurs.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Trouver une coordonnée pour une orthogonalité

Pour le logo d'une marque de sneakers, un designer veut que deux traits soient perpendiculaires. Dans un repère orthonormé, ils sont portés par $\vec{u}\,(4\,;\,3)$ et $\vec{v}\,(x\,;\,8)$ . Déterminer la valeur de $x$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Aire d'un triangle rectangle par le produit scalaire

Une découpe au laser doit produire une plaque triangulaire $ABC$ . Dans un repère orthonormé gradué en centimètres, ses sommets sont $A(2\,;\,1)$ , $B(6\,;\,3)$ et $C(1\,;\,3)$ . Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , puis calculer son aire.

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Démontrer qu'un triangle est rectangle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ et $C(0\,;\,4)$ . Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Débloquer l'exercice

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire avec les coordonnées ?

Dans un repère orthonormé, si u a pour coordonnées (x ; y) et v (x' ; y'), alors le produit scalaire vaut u·v = xx' + yy'.

Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (u·v = 0).

Le produit scalaire est-il un vecteur ?

Non. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel (un scalaire), pas un vecteur.