Fiche méthode · Troisième

Méthode : le théorème de Pythagore et sa réciproque

Fiche méthode de Troisième : Pythagore et sa réciproque. Calculer un côté d'un triangle rectangle, prouver qu'un triangle est rectangle.

Mis à jour en juin 2026

Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle : avec deux longueurs, on trouve la troisième. Sa réciproque fait l’inverse : elle prouve qu’un triangle possède un angle droit. Le piège du brevet est de confondre les deux. Cette fiche te donne une méthode claire pour chaque situation.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle en additionnant les carrés ;
calculer un côté de l’angle droit en soustrayant les carrés ;
utiliser la réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle ;
utiliser la contraposée pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

Méthode

A. Calculer une longueur (sens direct).

Vérifier que le triangle est rectangle et repérer l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit).
Écrire l’égalité de Pythagore avec l’hypoténuse au carré seule d’un côté : par exemple $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Selon l’inconnue :
- hypoténuse cherchée $\rightarrow$ on additionne les carrés ;
- côté de l’angle droit cherché $\rightarrow$ on isole ce côté et on soustrait : $AC^2 = BC^2 - AB^2$ .
Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur.

B. Prouver qu’un triangle est rectangle (réciproque / contraposée).

Repérer le plus grand côté (le candidat hypoténuse).
Calculer séparément $d_1 = (\text{plus grand côté})^2$ et $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$ .
Comparer : si $d_1 = d_2$ , le triangle est rectangle (réciproque) ; si $d_1 \neq d_2$ , il n’est pas rectangle (contraposée).

Exemple résolu

Exemple 1 - calculer un côté (sens direct).

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne l’hypoténuse $BC = 10$ cm et $AB = 6$ cm. On cherche $AC$ .

L’angle droit est en $A$ , donc l’hypoténuse est $[BC]$ . D’après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2.$
On cherche un côté de l’angle droit : on isole $AC^2$ (on soustrait) : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64.$
On prend la racine carrée : $AC = \sqrt{64} = 8$ .

Conclusion : $AC = 8$ cm.

Exemple 2 - le triangle est-il rectangle ? (réciproque).

Un triangle $RST$ vérifie $RS = 6$ cm, $ST = 8$ cm et $RT = 11$ cm. Est-il rectangle ?

Le plus grand côté est $[RT]$ (car $11 > 8 > 6$ ). On calcule séparément : $d_1 = RT^2 = 11^2 = 121 \qquad\text{et}\qquad d_2 = RS^2 + ST^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.$
On compare : $121 \neq 100$ , donc $d_1 \neq d_2$ .

Conclusion : d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ n’est pas rectangle.

Erreur classique

Faux : pour trouver un côté de l’angle droit, écrire $AC^2 = BC^2 + AB^2$ et additionner ( $100 + 36 = 136$ ). On gonfle alors le côté cherché : il deviendrait plus grand que l’hypoténuse, ce qui est impossible.

Vrai : l’hypoténuse est le plus long côté, donc pour un côté de l’angle droit on soustrait : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64, \qquad AC = \sqrt{64} = 8.$ On additionne uniquement quand on cherche l’hypoténuse.

À retenir

Hypoténuse $\rightarrow$ on additionne ; côté de l’angle droit $\rightarrow$ on soustrait ; et jamais sans racine carrée à la fin. Pour la réciproque, calcule les deux membres séparément puis compare : $=$ donne rectangle (réciproque), $\neq$ donne non rectangle (contraposée).

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Troisième

Théorème de Pythagore

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Questions fréquentes

Quand faut-il additionner et quand faut-il soustraire les carrés ?

Si tu cherches l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), tu additionnes les carrés des deux côtés de l'angle droit. Si tu cherches un côté de l'angle droit, tu connais l'hypoténuse et tu soustrais : le carré du côté cherché est égal au carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre côté. Pense à prendre la racine carrée à la fin.

Comment savoir si un triangle est rectangle avec Pythagore ?

On repère le plus grand côté, qui serait l'hypoténuse. On calcule séparément le carré de ce plus grand côté d'un côté, et la somme des carrés des deux autres côtés de l'autre. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle d'après la réciproque de Pythagore. S'ils sont différents, il n'est pas rectangle d'après la contraposée.

Quelle est la différence entre le théorème, la réciproque et la contraposée ?

Le théorème part d'un triangle rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part de l'égalité des carrés pour prouver qu'un triangle est rectangle. La contraposée part d'une inégalité des carrés pour conclure qu'un triangle n'est pas rectangle. Le théorème calcule, la réciproque et la contraposée démontrent.