Troisième · Chapitre 12

Théorème de Pythagore

Cours de Troisième sur le théorème de Pythagore (brevet) : calculer l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit, réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Théorème de Pythagore

Comment savoir si un mur est bien d’aplomb, calculer la longueur d’une rampe ou la portée d’une échelle posée contre une façade ? Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle : connaissant deux longueurs, on en déduit la troisième. Sa réciproque permet, à l’inverse, de prouver qu’un triangle possède bien un angle droit. C’est l’un des outils les plus utiles du brevet.

L'hypoténuse d'un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit. Les deux autres côtés, qui forment l’angle droit, sont appelés les côtés de l’angle droit.

Par exemple, si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors l’hypoténuse est $[BC]$ .

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Calculer la longueur de l'hypoténuse

On connaît les deux côtés de l’angle droit et on cherche l’hypoténuse.

Vérifier que le triangle est rectangle et repérer l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit).
Écrire l’égalité de Pythagore, par exemple $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Remplacer par les valeurs et additionner les carrés.
Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

Exemple : si $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm, alors $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , donc $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

Calculer un côté de l'angle droit

On connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit ; on cherche l’autre côté de l’angle droit. On soustrait alors les carrés.

Écrire l’égalité de Pythagore en plaçant bien l’hypoténuse au carré toute seule : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Isoler le côté cherché : $AB^2 = BC^2 - AC^2$ .
Remplacer, calculer la différence des carrés.
Prendre la racine carrée du résultat.

Exemple : si $BC = 13$ cm et $AC = 12$ cm, alors $AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ , donc $AB = \sqrt{25} = 5$ cm.

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit un triangle $ABC$ dont $[BC]$ est le plus grand côté. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2,$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (l’angle droit est au sommet opposé au plus grand côté).

C’est cette réciproque que l’on utilise pour démontrer qu’un triangle est rectangle.

Prouver qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle

Repérer le plus grand côté : c’est lui qui serait l’hypoténuse.
Calculer séparément deux quantités :
- $d_1 = (\text{plus grand côté})^2$ ;
- $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$ .
Comparer :
- si $d_1 = d_2$ , alors d’après la réciproque de Pythagore le triangle est rectangle ;
- si $d_1 \neq d_2$ , alors d’après la contraposée le triangle n’est pas rectangle.

Contraposée du théorème de Pythagore

Soit un triangle $ABC$ dont $[BC]$ est le plus grand côté. Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2,$ alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

La contraposée est la formulation utilisée pour conclure qu’un triangle n’a pas d’angle droit.

Quelques triplets pythagoriciens utiles

Trois entiers $(a, b, c)$ qui vérifient $a^2 + b^2 = c^2$ forment un triplet pythagoricien : ils donnent des longueurs « rondes ». Les plus courants au brevet :

$3 - 4 - 5$ (et ses multiples : $6 - 8 - 10$ , $9 - 12 - 15$ …) ;
$5 - 12 - 13$ ;
$8 - 15 - 17$ .

Les reconnaître permet souvent de vérifier un calcul d’un coup d’œil.

Les pièges à éviter

Se tromper d’hypoténuse : l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit, donc le plus long. Au carré, il doit être seul d’un côté de l’égalité.
Additionner au lieu de soustraire : pour trouver un côté de l’angle droit, on soustrait les carrés ( $AB^2 = BC^2 - AC^2$ ) ; pour l’hypoténuse, on additionne.
Oublier la racine carrée : $BC^2 = 25$ ne donne pas $BC = 25$ mais $BC = \sqrt{25} = 5$ .
Réciproque bâclée : il faut calculer les deux membres séparément puis les comparer ; écrire directement $BC^2 = AB^2 + AC^2$ revient à supposer ce que l’on veut démontrer.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer la diagonale d'un écran de télévision

L'écran rectangulaire d'une télévision mesure $120$ cm de largeur et $50$ cm de hauteur. On appelle $ABCD$ ce rectangle, avec $AB = 120$ cm et $BC = 50$ cm. Calculer la longueur de la diagonale $[AC]$ de l'écran.

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Calculer la longueur de l'hypoténuse

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer la longueur de l'hypoténuse $BC$ .

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Calculer un côté de l'angle droit

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne l'hypoténuse $BC = 13$ cm et le côté $AC = 12$ cm. Calculer la longueur $AB$ .

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Calculer la longueur d'un toboggan

Dans une aire de jeux, un toboggan part du haut d'une plateforme située à $2{,}5$ m du sol. Le bas du toboggan touche le sol à $4$ m du pied vertical de la plateforme. Le sol est horizontal. Quelle est la longueur de la glissière du toboggan ? Arrondir au centimètre.

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Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle (contraposée)

Un triangle $EFG$ a pour côtés $EF = 5$ cm, $FG = 6$ cm et $EG = 8$ cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

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Prouver qu'un triangle est rectangle (réciproque)

Un triangle $RST$ a pour côtés $RS = 5$ cm, $ST = 12$ cm et $RT = 13$ cm. Démontrer que le triangle $RST$ est rectangle et préciser en quel sommet.

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Charpente d'un toit : longueur des chevrons puis périmètre

Le pignon d'une maison a la forme d'un triangle isocèle $SAB$ : la base $[AB]$ mesure $8$ m et le sommet $S$ (le faîte du toit) se trouve à la verticale du milieu $M$ de $[AB]$ , à une hauteur $SM = 3$ m. Les deux côtés $[SA]$ et $[SB]$ sont les chevrons.

1. Calculer la longueur d'un chevron $SA$ .
2. En déduire le périmètre du triangle $SAB$ (longueur totale de bois pour contourner le pignon).

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Bonus

Le pied de l'échelle (problème concret)

Une échelle de $4{,}2$ m est appuyée contre un mur vertical. Par sécurité, le pied de l'échelle est posé à $1{,}4$ m du mur. Le sol est horizontal. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Arrondir au centimètre.

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Questions fréquentes

Que dit le théorème de Pythagore ?

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC au carré = AB au carré + AC au carré, où BC est l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit.

Comment calculer un côté de l'angle droit avec Pythagore ?

On part de l'égalité de Pythagore, puis on isole le côté cherché par une soustraction. Si ABC est rectangle en A et que l'on cherche AB, on écrit AB au carré = BC au carré − AC au carré, on calcule la différence des carrés, puis on prend la racine carrée du résultat.

À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?

La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : s'ils sont égaux, le triangle est rectangle, et l'angle droit est situé au sommet opposé au plus grand côté. Sinon, la contraposée permet d'affirmer que le triangle n'est pas rectangle.