Fiche méthode · Première

Méthode : résoudre une équation du second degré

Q: Quelle est la formule du discriminant ?

Le discriminant se note Delta et vaut Delta = b au carré - 4ac, où a, b et c sont les coefficients du trinôme ax au carré + bx + c. C'est son signe qui donne le nombre de solutions.

Q: Comment savoir combien de solutions a l'équation ?

Si Delta est strictement positif il y a deux solutions, si Delta est nul il y a une solution double, et si Delta est strictement négatif il n'y a aucune solution réelle.

Q: Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si b ou c est nul, on factorise directement (mise en évidence ou identité remarquable) : c'est plus rapide. On réserve le discriminant aux trinômes complets.

Méthode pas à pas pour résoudre ax au carré + bx + c = 0 en Première : discriminant, racines, factorisation et signe du trinôme.

Mis à jour en juin 2026

Résoudre une équation du second degré, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles un trinôme $ax^2 + bx + c$ s’annule. Cette fiche te donne la méthode complète, du calcul du discriminant jusqu’au signe du trinôme, avec un exemple entièrement résolu. Garde-la sous la main : tu réutiliseras ces réflexes en analyse, en optimisation et dans presque tous les problèmes de Première.

Ce que tu dois savoir faire

Mettre une équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$ .
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et discuter son signe.
Donner les racines avec $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Factoriser le trinôme et dresser son tableau de signes.

Les 5 étapes pour résoudre une équation du second degré

Ranger l’équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$ (tout d’un côté, $0$ de l’autre) et vérifier que $a \neq 0$ . Identifier $a$ , $b$ et $c$ avec leur signe.
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Discuter selon le signe de $\Delta$ :
- si $\Delta > 0$ : deux racines distinctes ;
- si $\Delta = 0$ : une racine double ;
- si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle.
Calculer les racines quand $\Delta \geq 0$ : $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ (si $\Delta = 0$ , l’unique racine est $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ ).
Factoriser et étudier le signe : avec deux racines, $ax^2 + bx + c = a\,(x - x_1)(x - x_2)$ . Le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe de $-a$ entre les racines.

Réflexes qui font gagner du temps

Avant de sortir le discriminant, regarde si l’équation se factorise « à la main » :
- si $c = 0$ : $ax^2 + bx = x\,(ax + b)$ , donc $x = 0$ ou $x = \dfrac{-b}{a}$ ;
- si $b = 0$ : $ax^2 + c = 0$ se résout directement (et n’a de solution que si $\dfrac{-c}{a} \geq 0$ ).
Pour vérifier tes racines sans te retromper, utilise les relations $x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Exemple résolu pas à pas

Étape 1 - Identifier les coefficients. L’équation est déjà rangée et $a = 2 \neq 0$ : $a = 2 \qquad b = -3 \qquad c = -2.$

Étape 2 - Calculer le discriminant. $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25.$ Attention : $(-3)^2 = 9$ (positif), et $-4 \times 2 \times (-2) = +16$ .

Étape 3 - Discuter. $\Delta = 25 > 0$ : l’équation admet deux racines distinctes. De plus $\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5$ .

Étape 4 - Calculer les racines. $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 - 5}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2},$ $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 + 5}{4} = \dfrac{8}{4} = 2.$

Vérification : $x_1 \times x_2 = -\dfrac{1}{2} \times 2 = -1 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{2}$ . C’est cohérent.

Étape 5 - Factoriser et étudier le signe. $2x^2 - 3x - 2 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2).$ Comme $a = 2 > 0$ , le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles :

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{1}{2}$		$2$		$+\infty$
signe de $2x^2 - 3x - 2$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Conclusion : l’ensemble des solutions de l’équation est $S = \left\{-\dfrac{1}{2}\,;\ 2\right\}$ .

Les pièges à éviter

FAUX : pour $b = -3$ , écrire $b^2 = -9$ . VRAI : un carré est toujours positif, donc $b^2 = (-3)^2 = 9$ .
FAUX : diviser par $2$ dans la formule des racines. VRAI : on divise par $2a$ : ici par $2 \times 2 = 4$ , pas par $2$ .
FAUX : conclure « pas de solution » dès que $\Delta = 0$ . VRAI : si $\Delta = 0$ , il y a une solution (racine double) $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ ; c’est $\Delta < 0$ qui donne $S = \varnothing$ .
FAUX : oublier le coefficient $a$ dans la factorisation et écrire $(x - x_1)(x - x_2)$ . VRAI : la forme factorisée est $a\,(x - x_1)(x - x_2)$ .

S'entraîner sur ces chapitres

Première

Le second degré : équations, discriminant et signe du trinôme

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Quelle est la formule du discriminant ?

Le discriminant se note Delta et vaut Delta = b au carré - 4ac, où a, b et c sont les coefficients du trinôme ax au carré + bx + c. C'est son signe qui donne le nombre de solutions.

Comment savoir combien de solutions a l'équation ?

Si Delta est strictement positif il y a deux solutions, si Delta est nul il y a une solution double, et si Delta est strictement négatif il n'y a aucune solution réelle.

Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si b ou c est nul, on factorise directement (mise en évidence ou identité remarquable) : c'est plus rapide. On réserve le discriminant aux trinômes complets.