Le second degré : équations, discriminant et signe du trinôme

Tout trinôme s’écrit sous forme canonique : $ax^2 + bx + c = a\,(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec} \quad \alpha = \frac{-b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha).$

Lorsqu’il admet deux racines $x_1$ et $x_2$, il se met aussi sous forme factorisée : $ax^2 + bx + c = a\,(x - x_1)(x - x_2).$

La forme factorisée donne directement les racines et le signe (règle des signes d’un produit) : c’est l’approche mise en avant par le programme.

Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le nombre :

$\Delta = b^2 - 4ac$

C’est le signe de $\Delta$ qui décide du nombre de solutions de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$.

• Si $\Delta > 0$ : l’équation admet deux racines distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle.

Lorsque $\Delta \geq 0$, le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe de $-a$ entre les deux racines. Lorsque $\Delta < 0$, il garde partout le signe de $a$.

Moyen mnémotechnique : « du signe de $a$ partout, sauf entre les racines ».

La courbe de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole de sommet $S\big(\alpha\,;\,\beta\big)$, avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$, et d’axe de symétrie la droite verticale $x = \alpha$.

• Si $a > 0$ : parabole tournée vers le haut, $f$ décroît puis croît (minimum $\beta$ en $\alpha$).
• Si $a < 0$ : parabole tournée vers le bas, $f$ croît puis décroît (maximum $\beta$ en $\alpha$).