Fiche méthode · Première STI2D

Methode : second degre sans discriminant

Fiche methode de Premiere STI2D : resoudre le second degre sans discriminant. Forme factorisee, racines, signe du trinome et sommet de la parabole.

Mis à jour en juin 2026

En Première STI2D, le programme commun 2026 résout le second degré sans discriminant. On s’appuie sur la forme factorisée pour lire les racines, sur la règle du produit nul, puis sur le signe de $a$ pour le tableau de signes et sur l’abscisse $\dfrac{-b}{2a}$ pour le sommet. Cette fiche te donne la marche à suivre, sans la formule $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

factoriser un trinôme simple ou exploiter une forme factorisée donnée ;
trouver les racines grâce à la règle du produit nul ;
dresser le tableau de signes d’un trinôme à partir du signe de $a$ ;
déterminer le sommet de la parabole avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ , sans discriminant.

Méthode

A. Racines : passer par la forme factorisée.

Repérer si le trinôme est déjà factorisé $f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)$ , ou si on peut mettre $x$ en facteur (cas où $c = 0$ ), ou reconnaître une identité remarquable.
Écrire l’équation sous la forme « produit $= 0$ ».
Appliquer la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. On annule chaque facteur : $x - x_1 = 0$ donne $x_1$ , et $x - x_2 = 0$ donne $x_2$ .
Conclure par l’ensemble des solutions.

B. Signe du trinôme.

Placer les racines $x_1 < x_2$ sur une ligne.
Repérer le signe de $a$ .
Le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe contraire à l’intérieur.

C. Sommet de la parabole (sans discriminant).

Calculer l’abscisse $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ (ou la moyenne des deux racines $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$ ).
Calculer l’ordonnée $\beta = f(\alpha)$ en remplaçant $\alpha$ dans le trinôme.
Si $a > 0$ , le sommet est un minimum ; si $a < 0$ , c’est un maximum.

Exemple résolu

Exemple 1 - forme factorisée donnée.

On donne $f(x) = 2\,(x - 1)(x - 3)$ . On cherche les racines, le signe et le sommet.

Racines. On résout $2\,(x - 1)(x - 3) = 0$ . Un produit est nul si l’un des facteurs est nul (le facteur $2$ n’est jamais nul) : $x - 1 = 0 \quad\text{ou}\quad x - 3 = 0,$ donc $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$ .
Signe. Ici $a = 2 > 0$ : $f(x)$ est positif à l’extérieur de $[1\,;3]$ et négatif entre $1$ et $3$ .
Sommet. L’abscisse est la moyenne des racines : $\alpha = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ . On remplace : $\beta = f(2) = 2\,(2 - 1)(2 - 3) = 2 \times 1 \times (-1) = -2.$ Comme $a > 0$ , c’est un minimum.

Conclusion : les racines sont $1$ et $3$ , le trinôme est négatif sur $]1\,;3[$ et positif ailleurs, et le sommet $S(2\,;-2)$ est un minimum.

Exemple 2 - on met $x$ en facteur ( $c = 0$ ).

Soit $g(x) = x^2 - 4x$ . On cherche les racines.

On factorise par $x$ : $g(x) = x\,(x - 4)$ .
On résout $x\,(x - 4) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x - 4 = 0$ , soit $x = 0$ ou $x = 4$ .

Conclusion : les racines de $g$ sont $0$ et $4$ .

Erreur classique

Faux : à partir de $x^2 - 4x = 0$ , simplifier par $x$ pour écrire $x - 4 = 0$ , donc $x = 4$ . On perd alors la solution $x = 0$ .

Vrai : on ne simplifie jamais par $x$ (qui peut valoir $0$ ) ; on factorise : $x^2 - 4x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x\,(x - 4) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \ \text{ou} \ x = 4.$ La règle du produit nul conserve toutes les racines.

À retenir

Pas de discriminant en techno : on factorise, on annule chaque facteur. La forme factorisée $a\,(x - x_1)(x - x_2)$ donne les racines directement ( $x_1$ et $x_2$ ), le signe de $a$ donne le tableau de signes (signe de $a$ à l’extérieur des racines), et le sommet se calcule avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ , qui est aussi la moyenne des racines $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

S'entraîner sur ces chapitres

Première STI2D

Polynômes du second degré

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Questions fréquentes

Pourquoi resout-on le second degre sans discriminant en techno ?

Le programme commun de Premiere technologique 2026 ne mentionne plus le discriminant. On resout donc le second degre autrement : on factorise le trinome quand c'est possible, puis on utilise que le produit est nul. Quand l'enonce donne deja la forme factorisee, ou quand on peut mettre x en facteur, on trouve les racines directement sans la formule delta egale b au carre moins quatre a c.

Comment trouver les racines a partir de la forme factorisee ?

La forme factorisee s'ecrit a fois la quantite x moins la premiere racine fois la quantite x moins la seconde racine. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On annule donc chaque parenthese : x moins la premiere racine egale zero donne la premiere racine, et x moins la seconde racine egale zero donne la seconde. Les racines se lisent ainsi presque directement sur la forme factorisee.

Comment trouver le sommet de la parabole sans discriminant ?

L'abscisse du sommet est moins b divise par deux a, et cette formule n'utilise pas le discriminant. On calcule cette abscisse, puis on remplace cette valeur dans le trinome pour obtenir l'ordonnee du sommet. Si le coefficient devant x au carre est positif le sommet est un minimum, s'il est negatif c'est un maximum. Quand on connait les deux racines, l'abscisse du sommet est aussi leur moyenne.