Première STI2D · Chapitre 4

Polynômes du second degré

Cours de Première STI2D sur le trinôme du second degré : discriminant, racines, forme canonique, sommet de la parabole, signe du trinôme et allure des courbes de degré 3. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En STI2D, beaucoup de grandeurs ne varient pas de façon proportionnelle : la trajectoire d’un jet d’eau, la puissance d’un panneau, le bénéfice d’un atelier ou le volume d’une boîte pliée suivent des modèles polynomiaux. Le trinôme du second degré est le plus courant : sa courbe est une parabole dont on sait repérer le sommet (la valeur maximale ou minimale), trouver les racines (les valeurs qui annulent la grandeur) et étudier le signe. On termine par un premier regard sur le degré 3, utile dès qu’un volume entre en jeu.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais reconnaître un trinôme du second degré $ax^2 + bx + c$ et donner ses coefficients $a$ , $b$ , $c$ .
Je sais calculer le discriminant $\Delta$ et en déduire le nombre de racines.
Je sais résoudre une équation du second degré et calculer les racines.
Je sais déterminer le sommet de la parabole et dire s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.
Je sais dresser le tableau de signes d’un trinôme.
Je sais reconnaître l’allure d’une courbe de degré 3.

À quoi ça sert, concrètement ?

Imagine un jet d’eau qui sort d’une buse : il monte, atteint une hauteur maximale, puis redescend. Sa trajectoire est une parabole, et le sommet te donne directement cette hauteur maximale - sans tâtonner. Même outil pour trouver la quantité de pièces qui rend un atelier le plus rentable, la surface utile maximale d’un panneau après découpe, ou la valeur d’un signal. Bref : dès que tu cherches « le meilleur réglage » ou « à partir de quand c’est rentable », le second degré est ton allié.

Trinôme du second degré

On appelle trinôme du second degré (ou polynôme de degré 2) toute expression de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c,$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a \neq 0$ .

$a$ est le coefficient dominant (celui de $x^2$ ) ;
$b$ est le coefficient de $x$ ;
$c$ est le terme constant.

Par exemple, pour $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$ , on a $a = -2$ , $b = 8$ et $c = -6$ .

La courbe est une parabole

La courbe représentative d’un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole.

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (« en U ») : elle admet un minimum.
Si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas (« en cloche ») : elle admet un maximum.

Le signe de $a$ se lit donc directement sur l’allure de la courbe : c’est le premier réflexe à avoir.

Discriminant

Pour un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ ), on appelle discriminant le nombre $\Delta = b^2 - 4ac.$

C’est son signe qui décide du nombre de solutions de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ .

Nombre de racines selon le signe de Δ

On résout l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ . Trois cas selon le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :

si $\Delta > 0$ : l’équation a deux racines réelles distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \, ;$
si $\Delta = 0$ : l’équation a une racine double $x_0 = \frac{-b}{2a} \, ;$
si $\Delta < 0$ : l’équation n’a aucune racine réelle (la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses).

Les racines sont exactement les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe coupe l’axe des abscisses.

Résoudre une équation du second degré

On veut résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ .

Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$ (penser au signe).
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Comparer $\Delta$ à $0$ pour connaître le nombre de racines.
Si $\Delta \geq 0$ , appliquer les formules des racines (ne pas oublier la racine carrée de $\Delta$ ).
Conclure en donnant l’ensemble des solutions.

Exemple : résolvons $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Ici $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ , donc $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0.$ Comme $\Delta > 0$ , il y a deux racines : $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3.$

Forme canonique et sommet

Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s’écrire sous sa forme canonique $f(x) = a\,(x - \alpha)^2 + \beta,$ où le point $S(\alpha \, ; \beta)$ est le sommet de la parabole. On retient surtout ses coordonnées : $\alpha = \frac{-b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha).$

L’abscisse $\alpha$ se calcule directement ; l’ordonnée $\beta$ s’obtient en remplaçant $\alpha$ dans le trinôme.

Le sommet donne le maximum ou le minimum

Le sommet $S(\alpha \, ; \beta)$ est l’extremum de la fonction :

si $a < 0$ (parabole vers le bas), $\beta$ est la valeur maximale de $f$ , atteinte en $x = \alpha$ ;
si $a > 0$ (parabole vers le haut), $\beta$ est la valeur minimale de $f$ , atteinte en $x = \alpha$ .

C’est cette propriété qui répond aux questions du type « hauteur maximale d’un jet » ou « bénéfice maximal d’un atelier » : on calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ , puis $\beta = f(\alpha)$ .

Signe d'un trinôme du second degré

Quand $\Delta > 0$ , on note $x_1 < x_2$ les deux racines. Le signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est : $\text{signe de } a \text{ à l'extérieur des racines, signe contraire à l'intérieur.}$

Autrement dit, $f(x)$ est du signe de $a$ pour $x < x_1$ et pour $x > x_2$ , et du signe contraire à $a$ pour $x_1 < x < x_2$ .

Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ partout, et s’annule seulement en $x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ (il ne s’annule jamais).

Dresser le tableau de signes d'un trinôme

Calculer $\Delta$ et déterminer les racines (s’il y en a).
Repérer le signe de $a$ .
Tracer une ligne avec, dans l’ordre croissant, les racines $x_1$ et $x_2$ .
Sur cette ligne, mettre le signe de $a$ aux extrémités (avant $x_1$ et après $x_2$ ) et le signe contraire entre les deux.

Exemple avec $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$ : on trouve $\Delta = 16 > 0$ et les racines $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$ . Comme $a = -2 < 0$ , $f(x)$ est négatif avant $1$ , positif entre $1$ et $3$ , puis négatif après $3$ .

Polynôme de degré 3

Un polynôme de degré 3 est une expression de la forme $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,$ où $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sont des réels avec $a \neq 0$ . Le terme de plus haut degré est $ax^3$ .

On rencontre le degré 3 dès qu’un volume intervient : par exemple, le volume (en cm³) d’une boîte obtenue par pliage d’une plaque dépend de la découpe $x$ sous la forme $V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ .

Allure des courbes de degré 3

La courbe d’un polynôme de degré 3 a une allure caractéristique en « S » couché :

si $a > 0$ , la courbe monte globalement : elle vient « d’en bas » à gauche et part « vers le haut » à droite ;
si $a < 0$ , la courbe descend globalement : elle vient « d’en haut » à gauche et part « vers le bas » à droite.

Entre ces deux comportements, la courbe peut présenter un creux et une bosse (un minimum local puis un maximum local, ou l’inverse). C’est ce qui permet, sur un volume comme $V(x)$ , d’avoir un maximum pour une valeur intermédiaire de $x$ .

Le réflexe du sommet

Tu cherches un maximum ou un minimum d’un trinôme ? Inutile de tester plein de valeurs : calcule directement $\alpha = \frac{-b}{2a}, \qquad \text{puis} \qquad \beta = f(\alpha).$ L’abscisse $\alpha$ te dit « quel réglage » (la quantité, la distance, la découpe…) et $\beta$ te dit « combien » (la hauteur, le bénéfice, l’aire…). Le signe de $a$ te confirme si c’est bien un maximum ( $a < 0$ ) ou un minimum ( $a > 0$ ).

Les pièges à éviter

Oublier le signe dans $\Delta$ . Pour $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$ : FAUX d’écrire $\Delta = 8^2 - 4 \times 2 \times 6$ . VRAI : avec $a = -2$ et $c = -6$ , $\Delta = 8^2 - 4 \times (-2) \times (-6) = 64 - 48 = 16$ . On reporte les coefficients avec leur signe.
Confondre l’abscisse et l’ordonnée du sommet. FAUX : dire que la hauteur maximale du jet est $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ . VRAI : $\alpha$ est seulement l’abscisse (le « où ») ; la hauteur maximale est $\beta = f(\alpha)$ , qu’il faut calculer en remplaçant.
Oublier la racine carrée de $\Delta$ . FAUX : $x_1 = \dfrac{-b - \Delta}{2a}$ . VRAI : $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; c’est bien $\sqrt{\Delta}$ qui apparaît dans la formule.
Inverser le signe du trinôme. FAUX : croire qu’un trinôme est toujours positif entre ses racines. VRAI : il est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire à l’intérieur ; donc si $a < 0$ , il est positif entre les racines, et négatif ailleurs.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Étudier le signe d'un écart de tension

Sur une carte électronique, l'écart de tension (en volts) entre un capteur et sa valeur de consigne est modélisé, en fonction du temps $t$ (en secondes), par $f(t) = t^2 - 7t + 10$ , pour $t$ compris entre $0$ et $8$ . Un écart positif signifie que le capteur est au-dessus de la consigne, un écart négatif qu'il est en dessous.

1) Résoudre l'équation $f(t) = 0$ pour trouver les instants où le capteur repasse exactement par la consigne.

2) Dresser le tableau de signes de $f(t)$ et préciser pendant quelle durée le capteur reste en dessous de la consigne.

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La hauteur maximale d'un jet d'eau

Sur un banc d'essai, un jet d'eau sort d'une buse et décrit une trajectoire parabolique. Sa hauteur, en mètres, en fonction de la distance horizontale $x$ (en mètres) est donnée par $h(x) = -x^2 + 6x$ , pour $x$ compris entre $0$ et $6$ . Déterminer la distance à laquelle le jet atteint sa hauteur maximale, puis cette hauteur maximale.

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Résoudre une équation du second degré (portée d'un jet)

Lors d'un test d'arrosage, la hauteur d'eau (en mètres) au-dessus d'une gouttière est modélisée par $h(x) = -2x^2 + 8x - 6$ , où $x$ est la distance horizontale en mètres. On cherche les distances pour lesquelles le jet revient au niveau de la gouttière, c'est-à-dire les solutions de l'équation $-2x^2 + 8x - 6 = 0$ . Résoudre cette équation.

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Forme canonique et coût minimal d'une impression 3D

Dans un atelier de prototypage, le coût de fonctionnement d'une imprimante 3D (en euros) dépend de la vitesse d'impression $v$ (en centimètres par seconde) selon $C(v) = v^2 - 12v + 40$ , pour $v$ compris entre $1$ et $11$ .

1) Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que la forme canonique soit $C(v) = (v - \alpha)^2 + \beta$ .

2) En déduire la vitesse qui rend le coût minimal et la valeur de ce coût minimal.

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Le bénéfice d'un atelier (quantité optimale et rentabilité)

Un atelier fabrique des capteurs connectés. Lorsqu'il en produit $q$ centaines par jour, le bénéfice quotidien (en centaines d'euros) est modélisé par $B(q) = -q^2 + 80q - 700$ , pour $q$ compris entre $0$ et $80$ .

1) Déterminer la quantité $q$ qui rend le bénéfice maximal, et calculer ce bénéfice maximal.

2) Déterminer les valeurs de $q$ pour lesquelles l'atelier est rentable, c'est-à-dire pour lesquelles $B(q) > 0$ .

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Maximiser l'aire utile d'un panneau

Sur le toit d'un atelier, on veut délimiter une zone rectangulaire pour poser des cellules photovoltaïques. Le profilé de bordure disponible mesure $80$ m, et sert à entourer entièrement le rectangle (c'est son périmètre). On note $x$ la largeur du rectangle (en mètres), avec $0 < x < 40$ .

1) Exprimer la longueur du rectangle en fonction de $x$ , puis montrer que l'aire utile est $A(x) = -x^2 + 40x$ .

2) Déterminer la largeur $x$ qui rend l'aire utile maximale, et calculer cette aire maximale.

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Le volume maximal d'un bac en tôle

Dans un atelier de chaudronnerie, on fabrique un bac sans couvercle à partir d'une plaque de tôle rectangulaire de $16$ cm de long et $10$ cm de large. On découpe à chaque coin un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords pour former le bac, avec $0 < x < 5$ .

1) Exprimer le volume $V(x)$ du bac, puis montrer qu'il vaut $V(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$ .

2) On admet que $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160$ . Étudier le signe de $V'(x)$ sur l'intervalle, puis en déduire la valeur de $x$ qui rend le volume maximal et calculer ce volume maximal.

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Bonus

Le volume maximal d'une boîte pliée

Dans un atelier de prototypage, on fabrique une boîte sans couvercle à partir d'une plaque carrée de tôle de $30$ cm de côté. On découpe à chaque coin un petit carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords pour former la boîte, avec $0 < x < 15$ .

1) Exprimer le volume $V(x)$ de la boîte, puis montrer qu'il vaut $V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ .

2) On admet que $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900$ . Étudier le signe de $V'(x)$ sur l'intervalle, puis en déduire la valeur de $x$ qui rend le volume maximal et calculer ce volume maximal.

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Questions fréquentes

Comment calculer le discriminant d'un trinôme du second degré ?

Pour un trinôme de la forme a x au carré plus b x plus c, le discriminant se note delta et vaut b au carré moins 4 fois a fois c. Son signe indique le nombre de racines : si delta est strictement positif il y a deux racines, si delta est nul il y a une racine double, et si delta est strictement négatif il n'y a pas de racine réelle.

Comment trouver le sommet d'une parabole ?

Le sommet d'une parabole d'équation a x au carré plus b x plus c a pour abscisse moins b divisé par 2 a. On calcule ensuite son ordonnée en remplaçant cette valeur dans le trinôme. Si a est négatif le sommet est le point le plus haut de la courbe, ce qui correspond à un maximum ; si a est positif c'est le point le plus bas, donc un minimum.

Quel est le signe d'un trinôme du second degré ?

Un trinôme est du signe de son coefficient a partout, sauf entre ses deux racines où il est du signe contraire. On résume cela par la phrase : signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire à l'intérieur. S'il n'y a pas de racine, le trinôme garde le signe de a sur tout l'ensemble des réels.