Fiche méthode · Première

Méthode : suites arithmétiques et géométriques

Fiche méthode de Première : reconnaître la nature d'une suite, calculer le terme général, étudier le sens de variation et la somme des termes.

Mis à jour en juin 2026

Une suite décrit une évolution étape par étape. Deux modèles reviennent sans cesse : on ajoute toujours le même nombre (suite arithmétique), ou on multiplie toujours par le même nombre (suite géométrique). Cette fiche te donne une méthode claire pour reconnaître la nature d’une suite, écrire son terme général, étudier son sens de variation et calculer une somme de termes.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

reconnaître la nature d’une suite (arithmétique, géométrique ou ni l’une ni l’autre) ;
écrire le terme général $u_n$ à partir du premier terme et de la raison ;
déterminer le sens de variation selon la raison ;
calculer une somme de termes consécutifs.

Méthode

A. Reconnaître la nature.

Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ : si elle est constante, la suite est arithmétique et cette constante est la raison $r$ .
Sinon, calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : s’il est constant, la suite est géométrique et ce quotient est la raison $q$ .

B. Écrire le terme général.

Suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ : $u_n = u_0 + n\,r$ .
Suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ .
Si la suite démarre à $u_1$ , on remplace $n$ par $n - 1$ : $u_n = u_1 + (n-1)\,r$ ou $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$ .

C. Déterminer le sens de variation.

Arithmétique : on étudie le signe de $r$ . Si $r > 0$ la suite est croissante, si $r < 0$ elle est décroissante, si $r = 0$ elle est constante.
Géométrique à termes positifs : on compare $q$ à $1$ . Si $q > 1$ la suite est croissante, si $0 < q < 1$ elle est décroissante, si $q = 1$ elle est constante.

D. Calculer une somme.

Entiers : $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .
Géométrique (avec $q \neq 1$ ) : $1 + q + q^2 + \dots + q^{\,n} = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$ .

Exemple résolu

Exemple 1 - une suite arithmétique.

On considère la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$ .

On passe d’un terme au suivant en ajoutant $3$ : la différence $u_{n+1} - u_n = 3$ est constante, donc la suite est arithmétique de raison $r = 3$ .
Terme général : $u_n = u_0 + n\,r = 5 + 3n$ . Par exemple $u_4 = 5 + 3 \times 4 = 17$ .
Comme $r = 3 > 0$ , la suite est croissante.
Somme des termes de $u_0$ à $u_4$ : il y a $5$ termes, on les additionne directement : $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55.$

Conclusion : $(u_n)$ est arithmétique de raison $3$ , $u_n = 5 + 3n$ , croissante, et $u_0 + \dots + u_4 = 55$ .

Exemple 2 - une suite géométrique.

On considère la suite définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3 \times v_n$ .

On passe d’un terme au suivant en multipliant par $3$ : le quotient $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 3$ est constant, donc la suite est géométrique de raison $q = 3$ .
Terme général : $v_n = v_0 \times q^{\,n} = 2 \times 3^{\,n}$ . Par exemple $v_3 = 2 \times 3^{3} = 2 \times 27 = 54$ .
Les termes sont positifs et $q = 3 > 1$ , donc la suite est croissante.
Somme des termes de $v_0$ à $v_3$ . On factorise par $v_0 = 2$ et on utilise la formule géométrique : $v_0 + v_1 + v_2 + v_3 = 2\,(1 + 3 + 3^2 + 3^3) = 2 \times \dfrac{1 - 3^{4}}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{1 - 81}{-2} = 2 \times 40 = 80.$

Conclusion : $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ , $v_n = 2 \times 3^{\,n}$ , croissante, et $v_0 + \dots + v_3 = 80$ .

Erreur classique

Faux : pour une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0 = 2$ , écrire le terme général comme une suite arithmétique, $u_n = 2 + 3n$ (on ajoute la raison).

Vrai : dans une suite géométrique, on multiplie par la raison à chaque étape, donc la raison apparaît en exposant : $u_n = u_0 \times q^{\,n} = 2 \times 3^{\,n}.$ On retient : arithmétique $\rightarrow$ la raison s’ajoute ( $+\,nr$ ) ; géométrique $\rightarrow$ la raison se met en puissance ( $\times\,q^{\,n}$ ).

À retenir

D’abord la différence, puis le quotient. Si $u_{n+1} - u_n$ est constant, c’est arithmétique (raison $r$ , terme général $u_0 + nr$ ). Sinon, si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant, c’est géométrique (raison $q$ , terme général $u_0 \times q^{\,n}$ ). Pour le sens de variation : signe de $r$ pour l’arithmétique, $q$ comparé à $1$ pour la géométrique à termes positifs.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître si une suite est arithmétique ou géométrique ?

On regarde comment on passe d'un terme au suivant. On calcule d'abord la différence entre deux termes consécutifs : si elle reste la même à chaque fois, la suite est arithmétique et cette différence est la raison. Sinon, on calcule le quotient d'un terme par le précédent : s'il reste constant, la suite est géométrique et ce quotient est la raison. Si ni la différence ni le quotient ne sont constants, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Comment trouver le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique de premier terme u zéro et de raison r, le terme de rang n vaut u zéro plus n fois r. Pour une suite géométrique de premier terme u zéro et de raison q, le terme de rang n vaut u zéro multiplié par q puissance n. Attention au point de départ : si la suite commence à u un au lieu de u zéro, on remplace n par n moins un dans la formule.

Comment connaître le sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique, tout dépend du signe de la raison : si la raison est positive la suite est croissante, si elle est négative la suite est décroissante, si elle est nulle la suite est constante. Pour une suite géométrique à termes positifs, on compare la raison à un : une raison supérieure à un donne une suite croissante, une raison entre zéro et un donne une suite décroissante, une raison égale à un donne une suite constante.