Première · Chapitre 2

Suites arithmétiques et géométriques

Cours de Première sur les suites arithmétiques et géométriques : raison, terme général, somme des termes, avec exercices corrigés pas à pas.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Généralités sur les fonctions

Les suites permettent de modéliser ce qui évolue étape par étape : une population, un capital placé, des remboursements. Deux modèles reviennent partout : on ajoute toujours la même chose (arithmétique), ou on multiplie toujours par la même chose (géométrique).

Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$

Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ , alors : $u_n = u_0 + n\,r$ Plus généralement, $u_n = u_p + (n - p)\,r$ .

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ (avec $q \neq 0$ ) si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$

Terme général d'une suite géométrique

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ , alors : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ Plus généralement, $u_n = u_p \times q^{\,n-p}$ .

Sommes de termes

Somme des entiers : $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .
Somme géométrique (pour $q \neq 1$ ) : $1 + q + q^2 + \dots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$ .

Reconnaître la nature d'une suite

Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ : si elle est constante, la suite est arithmétique.
Sinon, calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : s’il est constant, la suite est géométrique.

À ne pas confondre

Arithmétique : on ajoute la raison. Géométrique : on multiplie par la raison.
Attention à l’indexation : selon que la suite commence à $u_0$ ou $u_1$ , la formule du terme général change ( $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_1 + (n-1)r$ ).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Reconnaître une suite arithmétique

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = u_n + 5$ . Déterminer sa nature, sa raison, puis calculer $u_3$ .

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Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = -2$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{10}$ .

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Calculer 1 + 2 + … + 100

Calculer la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$ .

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Sens de variation d'une suite

Une salle de sport étudie deux indicateurs.

1. Le nombre d'abonnés qui résilient chaque mois est modélisé par la suite $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 120$ et de raison $r = -8$ . Étudier le sens de variation de $(u_n)$ , puis calculer $u_5$ .

2. Le nombre de visites de l'application mobile, en milliers, est modélisé par la suite $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 200$ et de raison $q = 1{,}05$ . Étudier le sens de variation de $(v_n)$ , puis calculer $v_3$ .

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Somme de termes : salaires sur une carrière

Lors de sa première année dans une entreprise, une salariée gagne $24\,000$ € sur l'année. Son salaire annuel augmente ensuite de $900$ € chaque année. On note $u_1$ le salaire de la première année, $u_2$ celui de la deuxième, etc.

1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison.
2. Calculer le salaire $u_{10}$ de la dixième année.
3. Calculer le total $S$ des salaires perçus sur les $10$ premières années.

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Terme général d'une suite géométrique

Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 2$ . Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $v_6$ .

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Bonus

Capital et intérêts composés (problème)

On place un capital de $1000$ € sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an (intérêts composés). On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $C_5$ (arrondi à l'euro).

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Recherche d'un seuil : abonnés d'une application

Une application compte $5\,000$ abonnés au moment de son lancement. Grâce au bouche-à-oreille, ce nombre augmente de $12\,\%$ chaque année. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ années, donc $u_0 = 5\,000$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. À partir de combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il $10\,000$  ? Vérifier en calculant les termes encadrant ce seuil.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

On calcule la différence entre deux termes consécutifs u indice n+1 − u indice n. Si elle est constante, la suite est arithmétique et cette constante est la raison r.

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?

Pour une suite géométrique de premier terme u indice 0 et de raison q, le terme général est u indice n = u indice 0 × q puissance n.

Comment calculer la somme 1 + 2 + 3 + … + n ?

La somme des n premiers entiers naturels non nuls vaut n(n+1) divisé par 2.