Fiche méthode · Troisième

Méthode : appliquer le théorème de Thalès

Fiche méthode de Troisième : appliquer le théorème de Thalès. Repérer la configuration, écrire les rapports, calculer une longueur par produit en croix.

Mis à jour en juin 2026

Le théorème de Thalès sert à calculer une longueur quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes. Le plus dur n’est pas le calcul : c’est de bien repérer la configuration et d’écrire les rapports dans le bon ordre. Cette fiche te donne une méthode fiable, étape par étape, pour ne plus te tromper au brevet.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

reconnaître une configuration de Thalès (« triangle » ou « papillon ») ;
vérifier que les deux droites sont bien parallèles avant de te lancer ;
écrire l’égalité des trois rapports en respectant l’ordre des longueurs ;
calculer une longueur inconnue grâce au produit en croix.

Méthode

Repérer la configuration. Identifie le sommet commun $A$ (le point où les deux droites se croisent). Place les points : $M$ sur $(AB)$ et $N$ sur $(AC)$ . Si $A$ est entre les deux parallèles, c’est un papillon ; sinon, c’est un triangle.
Vérifier le parallélisme. Le théorème ne s’applique que si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . Cette information doit être donnée par l’énoncé (ou déjà démontrée).
Écrire les trois rapports égaux, toujours dans le même ordre : au numérateur les segments issus de $A$ , au dénominateur les segments complets correspondants. $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
Garder les deux rapports utiles : celui dont tu connais les deux longueurs, et celui qui contient l’inconnue.
Calculer par produit en croix. Pour $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d}$ , on obtient $x = \dfrac{a \times d}{b}$ .

Exemple résolu

On considère un triangle $ABC$ . Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$ , avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ .

On donne : $AM = 4$ cm, $AB = 6$ cm et $BC = 9$ cm. On cherche la longueur $MN$ .

Étape 1 - Configuration. Le sommet commun est $A$ , et les deux parallèles $(MN)$ et $(BC)$ sont du même côté de $A$ : c’est une configuration « triangle ».

Étape 2 - Parallélisme. L’énoncé affirme $(MN) \parallel (BC)$ : le théorème de Thalès s’applique.

Étape 3 - Égalité des rapports. D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Étape 4 - Rapports utiles. On connaît $AM$ , $AB$ et $BC$ , et on cherche $MN$ : on garde donc $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} \qquad\text{soit}\qquad \dfrac{4}{6} = \dfrac{MN}{9}.$

Étape 5 - Produit en croix. $MN = \dfrac{4 \times 9}{6} = \dfrac{36}{6} = 6.$

Conclusion : $MN = 6$ cm.

Erreur classique

Faux : mélanger les longueurs en écrivant $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{MN}{BC}$ . Le segment $MB$ n’est pas un côté complet issu de $A$ , l’égalité est fausse.

Vrai : au dénominateur on met le segment complet parti de $A$ , c’est-à-dire $AB$ (et non $MB$ ) : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}.$ Et si l’énoncé te donne $AM$ et $MB$ séparément, n’oublie pas que $AB = AM + MB$ .

À retenir

Issus de $A$ en haut, segments complets en bas. Écris d’abord la chaîne complète $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , garde les deux rapports utiles, puis produit en croix. Triangle ou papillon : c’est toujours la même égalité.

S'entraîner sur ces chapitres

Troisième

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Dans quel ordre faut-il écrire les rapports de Thalès ?

On range les longueurs toujours dans le même sens. Au numérateur, les segments qui partent du sommet commun A (comme AM et AN) ; au dénominateur, les segments complets correspondants (AB et AC). Le troisième rapport est celui des deux côtés parallèles (MN sur BC). Garder le même ordre des deux côtés de chaque égalité évite les erreurs.

Comment reconnaître une configuration papillon ?

Dans la configuration papillon, le sommet commun A est situé entre les deux droites parallèles : les deux triangles sont de part et d'autre de A, comme deux ailes. Dans la configuration triangle, les deux parallèles sont du même côté de A, et le petit triangle est emboîté dans le grand. Dans les deux cas, on écrit la même égalité de rapports.

À quoi sert le produit en croix dans Thalès ?

Une fois l'égalité de deux rapports écrite, par exemple quatre sixièmes égalent MN sur neuf, le produit en croix sert à isoler l'inconnue. On multiplie en diagonale puis on divise : MN est égal à quatre fois neuf, le tout divisé par six. C'est le calcul de base de toute situation de proportionnalité.