Troisième · Chapitre 13

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Cours de Troisième sur le théorème de Thalès : configurations triangle et papillon, calcul de longueurs, réciproque. Avec exercices corrigés pour le brevet.

10 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Proportionnalité et vitesses

Le théorème de Thalès relie les longueurs créées par deux droites parallèles qui coupent deux droites sécantes. C’est l’outil qui permet, au collège, de calculer une longueur inaccessible (la hauteur d’un arbre, la largeur d’une rivière) et, avec sa réciproque, de démontrer que deux droites sont parallèles. C’est un grand classique du brevet.

La configuration de Thalès

On part de deux droites sécantes en un point $A$ . Deux autres droites $(BC)$ et $(MN)$ viennent les couper, avec :

$B$ et $M$ sur la première droite issue de $A$ ,
$C$ et $N$ sur la seconde droite issue de $A$ .

On dit que $M$ et $N$ correspondent à $B$ et $C$ . La question est alors : que se passe-t-il si $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ?

Théorème de Thalès

Soit deux droites sécantes en $A$ . $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$ .

Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , alors :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Les longueurs sont proportionnelles : on retrouve les côtés de l’« angle » au numérateur et les côtés du « grand triangle » au dénominateur.

Deux configurations possibles

Le théorème s’applique dans deux situations :

la configuration « triangle » : les points $M$ et $N$ sont du même côté de $A$ (le petit triangle $AMN$ est emboîté dans le grand triangle $ABC$ ) ;
la configuration « papillon » : le point $A$ est entre les deux droites parallèles. Les deux triangles sont alors disposés de part et d’autre de $A$ , comme les deux ailes d’un papillon.

Dans les deux cas, on écrit la même égalité de rapports.

Calculer une longueur avec Thalès

Vérifier que la configuration est bien celle de Thalès (deux sécantes, deux parallèles) et repérer le sommet commun $A$ .
Écrire l’égalité des trois rapports : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .
Garder les deux rapports utiles (celui dont on connaît les deux longueurs, et celui qui contient l’inconnue).
Calculer la longueur cherchée par un produit en croix.

Le produit en croix

Pour résoudre une égalité de la forme $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d}$ , on multiplie en croix :

$a \times d = b \times x \quad\Longrightarrow\quad x = \dfrac{a \times d}{b}$

C’est le calcul de base de toute situation de proportionnalité.

Réciproque du théorème de Thalès

Soit deux droites sécantes en $A$ , avec $M$ sur $(AB)$ et $N$ sur $(AC)$ .

Si d’une part $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , et d’autre part les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans le même ordre que $A$ , $N$ , $C$ ,

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

C’est cette réciproque que l’on utilise pour démontrer un parallélisme.

Démontrer que deux droites sont parallèles

Calculer séparément les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ (sous forme décimale ou de fraction simplifiée).
Comparer : on peut aussi vérifier l’égalité par un produit en croix ( $AM \times AC$ et $AB \times AN$ ).
Vérifier l’ordre des points (même sens sur les deux droites).
Conclure : si les rapports sont égaux et l’ordre respecté, alors d’après la réciproque de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$ .

Les pièges classiques

Mal apparier les longueurs : au numérateur on met toujours les segments partant de $A$ ( $AM$ , $AN$ ), au dénominateur les segments complets ( $AB$ , $AC$ ).
Confondre $AB$ et $MB$ : si l’énoncé donne $AM$ et $MB$ , alors $AB = AM + MB$ (en configuration triangle).
Utiliser la réciproque sans vérifier l’ordre des points : l’égalité des rapports ne suffit pas, l’alignement dans le même sens est indispensable.
Pour prouver que deux droites ne sont pas parallèles, il suffit de montrer que les deux rapports sont différents (le produit en croix n’est pas vérifié).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Calculer la longueur du segment intérieur

Dans un triangle $ABC$ , le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 3$ cm, $AB = 8$ cm et $BC = 10$ cm. Calculer la longueur $MN$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Calculer une longueur (configuration triangle)

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ . Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$ . On sait que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ et que $AM = 4$ cm, $AB = 6$ cm, $AN = 5$ cm. Calculer la longueur $AC$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Agrandissement d'un fanion et nouveau périmètre

Un club de sport possède un petit fanion triangulaire $ABC$ dont les côtés mesurent $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm et $AC = 5$ cm. Pour en faire une grande banderole, on réalise un agrandissement de ce triangle dans lequel le plus grand côté, $BC = 8$ cm, devient $B'C' = 24$ cm. Déterminer le coefficient d'agrandissement, puis calculer le périmètre de la banderole.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Calculer une longueur en configuration papillon

Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $A$ . Les points $B$ et $D$ sont de part et d'autre de $A$ , de même que $C$ et $E$ : le point $A$ est donc situé entre les droites $(BC)$ et $(DE)$ . On sait que $(BC)$ est parallèle à $(DE)$ et que $AB = 4$ cm, $AC = 5$ cm, $AD = 6$ cm et $BC = 3$ cm. Calculer la longueur $DE$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Hauteur d'un arbre grâce à son ombre

Pour estimer la hauteur d'un arbre sans grimper, on plante un piquet vertical à côté de lui et on mesure les ombres au même instant. Les rayons du soleil étant parallèles, on obtient la configuration de Thalès suivante : le point $A$ est l'extrémité des deux ombres, $M$ est le pied du piquet, $B$ le pied de l'arbre, $N$ le sommet du piquet et $C$ le sommet de l'arbre. Ainsi $(MN) \parallel (BC)$ , les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés (sur le sol) et les points $A$ , $N$ , $C$ sont alignés (le long du rayon). On mesure l'ombre du piquet $AM = 0{,}9$ m, l'ombre de l'arbre $AB = 7{,}2$ m et la hauteur du piquet $MN = 1{,}5$ m. Calculer la hauteur $BC$ de l'arbre.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Largeur d'une rivière par visée (mesure indirecte)

Pour mesurer la largeur d'une rivière sans la traverser, un géomètre repère sur la rive opposée un arbre $M$ , juste en face d'un repère $N$ situé sur sa rive. Il s'éloigne ensuite le long de la rive en ligne droite jusqu'à un point $R$ , puis plante un piquet $P$ entre $N$ et $R$ . En se plaçant correctement, il fait en sorte que les points $M$ , $P$ et un dernier piquet $Q$ soient alignés, $Q$ étant sur la rive et tel que $(QR)$ soit parallèle à $(MN)$ . On a ainsi deux droites sécantes en $P$ : la droite $(NR)$ (le long de la rive) et la droite $(MQ)$ (la visée). On mesure $NP = 8$ m, $NR = 20$ m et le long de la rive $QR = 15$ m. En réalité on cherche $MN$ , la largeur de la rivière. Sachant que $(MN) \parallel (QR)$ , calculer la largeur $MN$ de la rivière.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Montrer que deux droites sont parallèles (réciproque)

Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $A$ , $N$ , $C$ . On donne $AM = 2$ cm, $AB = 5$ cm, $AN = 3$ cm et $AC = 7{,}5$ cm. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Deux allées qui se croisent (configuration papillon)

Dans un parc, deux allées rectilignes se croisent au point $A$ . Sur la première allée se trouvent une fontaine $B$ et un banc $D$ , situés de part et d'autre de $A$ . Sur la seconde allée se trouvent une statue $C$ et un chêne $E$ , eux aussi de part et d'autre de $A$ . Le point $A$ est donc situé entre les segments $[BC]$ et $[DE]$ : c'est une configuration papillon. Deux massifs de fleurs longent les segments $[BC]$ et $[DE]$ , qui sont parallèles. On a mesuré $AB = 12$ m, $AC = 9$ m, $AD = 20$ m et $BC = 7{,}5$ m. 1) Calculer la longueur $DE$ . 2) Calculer la longueur $AE$ . 3) En déduire le périmètre du triangle $ADE$ .

Voir l'exercice corrigé

Gratuit · corrigé

Maquette d'une façade à l'échelle (longueur et aire)

Un architecte réalise la maquette d'une maison à l'échelle $\dfrac{1}{50}$ : cela signifie que chaque longueur de la maquette est $50$ fois plus petite que la longueur réelle correspondante. Sur la maquette, la façade avant est un rectangle de hauteur $24$ cm et de largeur $40$ cm. 1) Calculer, en mètres, la hauteur réelle et la largeur réelle de la façade. 2) Calculer, en mètres carrés, l'aire réelle de cette façade. 3) On note $\mathcal{A}$ l'aire de la façade sur la maquette et $\mathcal{A}'$ son aire réelle. Par quel nombre faut-il multiplier $\mathcal{A}$ pour obtenir $\mathcal{A}'$ ?

Voir l'exercice corrigé

Bonus

Montrer que deux droites ne sont pas parallèles

Dans un triangle $ABC$ , le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$ . On donne $AM = 3$ cm, $MB = 2$ cm, $AN = 4$ cm et $NC = 3$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Débloquer l'exercice

Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

Commencer le quiz

Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser le théorème de Thalès ?

Lorsqu'on a deux droites sécantes en un point A, coupées par deux droites parallèles. On reconnaît alors une configuration « triangle » ou « papillon » et on peut écrire l'égalité des trois rapports de longueurs.

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème de Thalès suppose les droites parallèles pour calculer une longueur. La réciproque, elle, part de l'égalité de deux rapports pour démontrer que deux droites sont parallèles : on l'utilise quand le parallélisme est la conclusion attendue.

Comment montrer que deux droites ne sont pas parallèles avec Thalès ?

On calcule les deux rapports correspondants. Si le produit en croix n'est pas vérifié (les rapports sont différents), alors d'après la contraposée de la réciproque de Thalès, les deux droites ne sont pas parallèles.