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Fiche méthode · Troisième

Methode : la trigonometrie dans le triangle rectangle

Fiche methode de Troisieme : cosinus, sinus, tangente (SOH-CAH-TOA). Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle pour le brevet.

Mis à jour en juin 2026

La trigonométrie relie les angles d’un triangle rectangle à ses côtés. Avec un angle et un côté, on calcule une longueur ; avec deux côtés, on retrouve un angle. Tout repose sur trois rapports - cosinus, sinus, tangente - résumés par SOH-CAH-TOA. Cette fiche te donne la méthode pas à pas pour le brevet.

Objectifs

À la fin de cette fiche, tu sais :

nommer les côtés d’un triangle rectangle par rapport à un angle aigu (hypoténuse, adjacent, opposé) ;
choisir le bon rapport grâce à SOH-CAH-TOA ;
calculer une longueur quand un angle et un côté sont connus ;
calculer un angle quand deux côtés sont connus, avec la touche inverse ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ).

Méthode

Avant tout : nommer les côtés. On choisit l’angle aigu qui sert de repère. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (le plus long). Le côté adjacent touche l’angle repère ; le côté opposé lui fait face. Les trois rapports sont :

$\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

On les retient avec SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.

A. Calculer une longueur (un angle et un côté connus).

Repérer l’angle aigu connu, le côté connu et le côté cherché.
Choisir le rapport qui relie ces deux côtés (SOH-CAH-TOA).
Écrire l’égalité, puis isoler la longueur : on multiplie si l’inconnue est au numérateur, on divise si elle est au dénominateur.
Calculer à la calculatrice en mode degré (DEG), puis arrondir.

B. Calculer un angle (deux côtés connus).

Identifier la nature des deux côtés connus par rapport à l’angle cherché.
En déduire le rapport et calculer sa valeur (un nombre décimal).
Utiliser la touche inverse - $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ (touche 2nde ou SHIFT) - en mode degré.
Arrondir au degré (ou au dixième de degré) demandé.

Exemple résolu

Exemple 1 - calculer une longueur (côté au numérateur).

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 35°$ et l’hypoténuse $BC = 10$ cm. On cherche $AB$ .

Par rapport à $\widehat{B}$ , le côté $[AB]$ est adjacent et $[BC]$ est l’hypoténuse : on utilise le cosinus (CAH). $\cos\widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} \qquad\text{soit}\qquad \cos(35°) = \dfrac{AB}{10}.$
L’inconnue $AB$ est au numérateur : on multiplie. $AB = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}19.$

Conclusion : $AB \approx 8{,}2$ cm.

Exemple 2 - calculer une longueur (côté au dénominateur).

Une échelle s’appuie contre un mur en formant un angle de $70°$ avec le sol. Son pied est à $1{,}5$ m du mur. On cherche la hauteur $h$ atteinte sur le mur.

Par rapport à l’angle de $70°$ , le sol ( $1{,}5$ m) est adjacent et la hauteur $h$ est opposée : on utilise la tangente (TOA). $\tan(70°) = \dfrac{h}{1{,}5}.$
L’inconnue $h$ est au numérateur : on multiplie. $h = 1{,}5 \times \tan(70°) \approx 4{,}12.$

Conclusion : l’échelle atteint $h \approx 4{,}1$ m.

Exemple 3 - calculer un angle (touche inverse).

Dans un triangle rectangle en $A$ , l’hypoténuse vaut $5$ cm et le côté opposé à $\widehat{B}$ vaut $3$ cm. On cherche $\widehat{B}$ .

Opposé et hypoténuse $\rightarrow$ sinus (SOH) : $\sin\widehat{B} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.$
On utilise la touche inverse $\sin^{-1}$ : $\widehat{B} = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}87°.$

Conclusion : $\widehat{B} \approx 36{,}9°$ .

Erreur classique

On cherche $AC$ dans un triangle rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 40°$ et l’hypoténuse $BC = 8$ cm. Ici $[AC]$ est opposé à $\widehat{B}$ .

Faux : prendre le cosinus sans regarder la nature des côtés : $\cos(40°) = \dfrac{AC}{8} \;\Rightarrow\; AC = 8 \times \cos(40°) \approx 6{,}1 \text{ cm}.$ Le cosinus relie l’adjacent à l’hypoténuse, or $[AC]$ est opposé : le rapport est mal choisi.

Vrai : opposé et hypoténuse $\rightarrow$ sinus (SOH) : $\sin(40°) = \dfrac{AC}{8} \;\Rightarrow\; AC = 8 \times \sin(40°) \approx 5{,}1 \text{ cm}.$ On part toujours de l’angle pour nommer les côtés avant de choisir cos, sin ou tan.

Le piège de la calculatrice

Faux : taper $\cos^{-1}(0{,}6)$ avec l’écran en RAD : on lit un résultat absurde (ici environ $0{,}93$ ), car la machine répond en radians.

Vrai : vérifier que l’écran affiche DEG avant tout calcul d’angle. Pour un angle dont le cosinus vaut $\dfrac{4}{7} \approx 0{,}57$ : $\widehat{B} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{7}\right) \approx 55{,}2°.$ La touche $\cos^{-1}$ (notée aussi arccos) se trouve au-dessus de la touche $\cos$ , avec 2nde ou SHIFT.

À retenir

On part toujours de l’angle, puis on nomme les côtés, puis on choisit SOH-CAH-TOA. Pour une longueur, on multiplie si l’inconnue est en haut, on divise si elle est en bas. Pour un angle, on utilise la touche inverse ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ). Et dans tous les cas, calculatrice en DEG ! Garde aussi un réflexe de contrôle : un cosinus ou un sinus est toujours compris entre $0$ et $1$ ; au-delà, c’est une erreur.

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Troisième

Trigonométrie dans le triangle rectangle

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Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?

On part toujours de l'angle aigu connu, puis on regarde quels cotes sont en jeu (le cote connu et le cote cherche). Si ce sont l'adjacent et l'hypotenuse, on prend le cosinus. Si ce sont l'oppose et l'hypotenuse, on prend le sinus. Si ce sont l'oppose et l'adjacent, on prend la tangente. Le moyen mnemotechnique SOH-CAH-TOA resume ces trois choix.

Comment calculer une longueur avec la trigonometrie en 3eme ?

On repere l'angle aigu connu, le cote connu et le cote cherche, puis on choisit le rapport (cosinus, sinus ou tangente) qui relie ces deux cotes. On ecrit l'egalite, puis on isole la longueur cherchee : on multiplie si l'inconnue est au numerateur, on divise si elle est au denominateur. On termine a la calculatrice en mode degre, puis on arrondit comme demande.

A quoi sert la touche cosinus inverse de la calculatrice ?

La touche cosinus inverse, notee arccos ou cos puissance moins un, sert a retrouver un angle quand on connait son cosinus. Par exemple, si le cosinus d'un angle vaut quatre septiemes, on tape cosinus inverse de quatre septiemes et on obtient environ cinquante-cinq degres. Elle se trouve au-dessus de la touche cosinus, avec la touche Seconde ou Shift. Il existe de meme une touche sinus inverse et une touche tangente inverse.