Troisième · Chapitre 14

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Trigonométrie 3ème pour le brevet : cosinus, sinus, tangente (CAH-SOH-TOA) dans le triangle rectangle, calcul d'une longueur et d'un angle. Cours et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Théorème de Pythagore

Mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper, l’inclinaison d’une rampe d’accès ou la pente d’un toit : la trigonométrie relie les angles d’un triangle rectangle à ses côtés. Au programme du brevet, trois rapports suffisent - le cosinus, le sinus et la tangente - avec un moyen mnémotechnique, CAH-SOH-TOA, pour ne jamais les confondre.

Hypoténuse, côté adjacent et côté opposé

Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse. Pour un angle aigu $\widehat{B}$ donné :

le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui forme l’angle avec l’hypoténuse (il « touche » le sommet $B$ ) ;
le côté opposé à $\widehat{B}$ est celui qui ne touche pas le sommet $B$ .

L’hypoténuse ne change jamais ; en revanche, « adjacent » et « opposé » dépendent de l’angle que l’on regarde.

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ :

$\cos\widehat{B} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin\widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\widehat{B} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Le moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA

On retient les trois rapports en lisant chaque bloc de gauche à droite :

CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ;
SOH : Sinus = Opposé sur Hypoténuse ;
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent.

Une autre formulation utile : « la tangente, c’est le sinus divisé par le cosinus », soit $\tan\widehat{B} = \dfrac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}}$ .

Un cosinus et un sinus toujours entre 0 et 1

Pour tout angle aigu $\widehat{B}$ (avec $0° < \widehat{B} < 90°$ ) : $0 < \cos\widehat{B} < 1 \qquad \text{et} \qquad 0 < \sin\widehat{B} < 1$ Comme l’hypoténuse est le plus grand côté, un côté divisé par l’hypoténuse est toujours plus petit que $1$ . Un cosinus ou un sinus supérieur à $1$ signale donc une erreur. La tangente, elle, n’est pas un côté divisé par l’hypoténuse : elle peut dépasser $1$ .

Calculer une longueur (un angle et un côté connus)

Repérer l’angle aigu connu, le côté connu et le côté cherché (adjacent, opposé ou hypoténuse).
Choisir le rapport qui relie ces deux côtés : cosinus, sinus ou tangente (CAH-SOH-TOA).
Écrire l’égalité, puis isoler la longueur cherchée (on multiplie si l’inconnue est au numérateur, on divise si elle est au dénominateur).
Calculer à la calculatrice en mode degré (DEG), et arrondir comme l’énoncé le demande.

Exemple. Triangle rectangle en $A$ , $\widehat{B} = 35°$ et l’hypoténuse $BC = 10$ cm. On cherche $AB$ (côté adjacent à $\widehat{B}$ ). On utilise le cosinus : $\cos(35°) = \dfrac{AB}{10}$ , donc $AB = 10 \times \cos(35°) \approx 8{,}2$ cm.

Calculer un angle (deux côtés connus)

Identifier la nature des deux côtés connus par rapport à l’angle cherché (adjacent, opposé, hypoténuse).
En déduire le rapport adapté et calculer sa valeur, par exemple $\cos\widehat{B} = \dfrac{4}{7} \approx 0{,}57$ .
Utiliser la touche inverse de la calculatrice - $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ (souvent au-dessus des touches $\cos$ , $\sin$ , $\tan$ , avec la touche 2nde ou SHIFT) - en mode degré.
Arrondir au degré (ou au dixième de degré) demandé.

Exemple. Si $\cos\widehat{B} = \dfrac{4}{7}$ , alors $\widehat{B} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{7}\right) \approx 55{,}2°$ .

Relation entre tangente, sinus et cosinus

Pour un angle aigu $\widehat{B}$ : $\tan\widehat{B} = \dfrac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}}$ En effet, $\dfrac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}} = \dfrac{\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}{\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan\widehat{B}.$ Cette relation permet de contrôler un résultat.

Les pièges à éviter

Mauvais mode de calculatrice : pour des angles en degrés, vérifier que l’écran affiche DEG (et non RAD ou GRAD).
Confondre opposé et adjacent : toujours repartir de l’angle considéré avant de nommer les côtés.
Diviser au lieu de multiplier : si l’inconnue est au numérateur on multiplie, si elle est au dénominateur on divise. Vérifier l’ordre de grandeur (un côté est toujours plus court que l’hypoténuse).
Oublier l’unité et l’arrondi : on recopie l’unité (cm, m, °) et on respecte la précision demandée par l’énoncé.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer une longueur avec la tangente

Pour estimer la hauteur d'un arbre, tu te places à $15$ m de son pied, sur un sol horizontal. À cette distance, tu vises le sommet de l'arbre : ta ligne de visée fait un angle de $38^\circ$ avec le sol. Le tronc, le sol et ta ligne de visée forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au pied de l'arbre. Calculer la hauteur $h$ de l'arbre, arrondie au dixième de mètre.

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Calculer une longueur avec le cosinus

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne l'angle $\widehat{C} = 40°$ et l'hypoténuse $BC = 12$ cm. Calculer la longueur $AC$ , arrondie au dixième de centimètre.

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Calculer une longueur avec le sinus

Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$ . On donne l'angle $\widehat{P} = 53°$ et l'hypoténuse $NP = 9$ cm. Calculer la longueur $MN$ , arrondie au dixième de centimètre.

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Angle d'inclinaison d'un toboggan

Dans une aire de jeux, un toboggan descend d'une plateforme située à $3$ m de hauteur. Le bas de la glissière touche le sol à $8$ m du pied vertical de la plateforme. La glissière, le poteau vertical et le sol horizontal forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au pied du poteau. Calculer l'angle $\alpha$ que fait la glissière avec le sol, arrondi au dixième de degré.

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Calculer la mesure d'un angle

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On donne $AB = 4$ cm et $AC = 7$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{B}$ , arrondie au dixième de degré.

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Inclinaison d'une rampe (problème)

Pour rendre un perron accessible, on installe une rampe rectiligne de $5$ m de long qui relie le sol au seuil de la porte, situé à $0{,}40$ m de hauteur. La rampe, le mur vertical et le sol horizontal forment un triangle rectangle. Calculer l'angle $\alpha$ que fait la rampe avec le sol, arrondi au dixième de degré.

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Bonus

Charpente de toit (bonus)

Un toit à deux pentes symétriques repose sur un mur horizontal de $8$ m de largeur. Chaque pente (appelée rampant) fait un angle de $35°$ avec l'horizontale. On étudie la moitié du toit : un triangle rectangle dont l'angle droit est au milieu du mur, la demi-largeur du mur mesure donc $4$ m. 1) Calculer la longueur $L$ d'un rampant (de l'extrémité du mur jusqu'au sommet du toit), arrondie au centimètre. 2) Calculer la hauteur $h$ du sommet du toit au-dessus du mur, arrondie au centimètre. 3) Vérifier les résultats avec le théorème de Pythagore.

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Mât haubané : angle puis longueur du câble (problème)

Pour stabiliser un mât vertical, on tend un câble rectiligne (un hauban) qui relie le sommet du mât à un piquet planté dans le sol. Le mât mesure $6$ m de haut et le piquet est planté à $4{,}5$ m du pied du mât, sur un sol horizontal. Le mât, le sol et le câble forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au pied du mât. 1) Calculer l'angle $\alpha$ que fait le câble avec le sol, arrondi au dixième de degré. 2) Calculer la longueur $L$ du câble, arrondie au centimètre. 3) Vérifier ce résultat avec le théorème de Pythagore.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Quelles sont les trois formules de trigonométrie à connaître pour le brevet ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : cosinus = côté adjacent divisé par hypoténuse, sinus = côté opposé divisé par hypoténuse, tangente = côté opposé divisé par côté adjacent. On les retient avec CAH-SOH-TOA. Ces formules ne sont valables que dans un triangle rectangle.

Comment calculer une longueur avec la trigonométrie en 3ème ?

On repère l'angle aigu connu, puis le côté connu et le côté cherché (adjacent, opposé ou hypoténuse). On choisit le rapport (cos, sin ou tan) qui relie ces deux côtés, on écrit l'égalité, puis on isole la longueur cherchée. On termine à la calculatrice en mode degré (DEG).

Comment trouver la mesure d'un angle à partir de deux longueurs ?

On calcule le rapport de deux côtés (par exemple opposé divisé par hypoténuse pour le sinus), puis on utilise la touche inverse de la calculatrice : la touche inverse du cosinus (arccos), du sinus (arcsin) ou de la tangente (arctan), en mode degré. On obtient ainsi la mesure de l'angle, que l'on arrondit comme demandé.