Fiche de révision · Terminale

Revision bac : probabilites

Revision bac de probabilites en terminale : variables aleatoires, esperance, variance, loi binomiale, concentration et denombrement, avec exemples corriges.

Mis à jour en juin 2026

Les probabilites sont un incontournable du bac de terminale. Cette fiche rassemble tout ce qu’il faut maitriser le jour J : décrire une variable aleatoire, calculer son esperance et sa variance, reconnaitre et exploiter la loi binomiale, appliquer l’inegalite de concentration, et compter avec le denombrement. Chaque notion est accompagnée d’un exemple recalculé.

A la fin de cette fiche, je sais

décrire la loi d’une variable aleatoire et calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ ;
reconnaitre une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ et calculer une probabilité ponctuelle ;
utiliser les formules $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ ;
appliquer l’inegalite de Bienaymé-Tchebychev et l’inegalite de concentration ;
énoncer la loi des grands nombres ;
compter avec la factorielle, les permutations et le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ .

A quoi ça sert ?

Au bac, un exercice de probabilités te demande presque toujours de modéliser une situation (un tirage, une succession d’épreuves, un jeu) par une variable aléatoire, puis d’en tirer des prévisions chiffrées : un gain moyen, un risque, un nombre de succès attendu. L’esperance, c’est ta moyenne sur le long terme ; la variance, c’est la dispersion. La loi binomiale modélise tout ce qui se répète à l’identique (lancers, contrôles qualité, QCM au hasard). Et le denombrement sert à compter les issues avant de calculer la moindre probabilité. Bien tenir ces briques, c’est sécuriser plusieurs points le jour J.

Variable aleatoire et loi de probabilite

Une variable aleatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d’une expérience. Sa loi de probabilité est le tableau qui donne, pour chaque valeur $x_i$ que $X$ peut prendre, la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ .

La somme de toutes ces probabilités vaut toujours $1$ : $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$

Esperance, variance, ecart-type

Pour une variable aleatoire $X$ de loi $P(X = x_i) = p_i$ :

$E(X) = \sum_i x_i\,p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

La variance mesure la dispersion autour de $E(X)$ . On utilise surtout la formule de Koenig-Huygens :

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \qquad \text{avec} \qquad E(X^2) = \sum_i x_i^2\,p_i$

L’ecart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Calculer E(X), V(X) et l'ecart-type

Un jeu fait gagner ou perdre des jetons : $X$ vaut $-1$ avec une probabilité de $0{,}5$ , vaut $0$ avec une probabilité de $0{,}3$ et vaut $2$ avec une probabilité de $0{,}2$ . (On vérifie : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ .)

Esperance : $E(X) = (-1) \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = -0{,}5 + 0 + 0{,}4 = -0{,}1$
Esperance des carrés : $E(X^2) = (-1)^2 \times 0{,}5 + 0^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}2 = 0{,}5 + 0 + 0{,}8 = 1{,}3$
Variance (Koenig-Huygens) : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = 1{,}3 - (-0{,}1)^2 = 1{,}3 - 0{,}01 = 1{,}29$
Ecart-type : $\sigma(X) = \sqrt{1{,}29} \approx 1{,}14$ .

Conclusion : le gain moyen est $E(X) = -0{,}1$ jeton, avec une variance $V(X) = 1{,}29$ et un écart-type $\sigma(X) \approx 1{,}14$ .

Loi binomiale

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve qui n’a que deux issues : « succès » (probabilité $p$ ) ou « échec » (probabilité $1 - p$ ). La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ .

Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{\,n - k}$

Esperance et variance de la loi binomiale

Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ , alors :

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$

Ces formules sont à connaître par coeur : elles évitent de refaire le calcul terme à terme.

Une loi binomiale B(10 ; 0,3)

Une épreuve a une probabilité de succès $p = 0{,}3$ , répétée $n = 10$ fois de façon indépendante. On note $X$ le nombre de succès, donc $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ .

Esperance et variance : $E(X) = np = 10 \times 0{,}3 = 3 \qquad V(X) = np(1 - p) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1$
Probabilité d’exactement $2$ succès ( $\dbinom{10}{2} = 45$ ) : $P(X = 2) = \binom{10}{2}\,(0{,}3)^2\,(0{,}7)^8 = 45 \times 0{,}09 \times 0{,}05764801 \approx 0{,}2335$
Probabilité d’au moins $1$ succès (passage par l’événement contraire) : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}7)^{10} \approx 1 - 0{,}0282 = 0{,}9718$

Conclusion : $E(X) = 3$ , $V(X) = 2{,}1$ , $P(X = 2) \approx 0{,}2335$ et $P(X \geqslant 1) \approx 0{,}9718$ .

Inegalite de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu = E(X)$ et de variance $V = V(X)$ . Pour tout réel $a > 0$ :

$P\big(|X - \mu| \geqslant a\big) \leqslant \dfrac{V}{a^2}$

Cette inégalité majore la probabilité que $X$ s’écarte de son espérance de plus de $a$ , à partir de la seule variance.

Majorer une probabilite d'ecart

Une variable $X$ a pour espérance $\mu = 20$ et pour variance $V = 4$ . On majore la probabilité que $X$ s’éloigne de $20$ de plus de $a = 5$ :

$P\big(|X - 20| \geqslant 5\big) \leqslant \dfrac{V}{a^2} = \dfrac{4}{5^2} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$

Conclusion : cette probabilité est au plus égale à $0{,}16$ (c’est une borne supérieure, la vraie valeur est souvent plus petite).

Inegalite de concentration et loi des grands nombres

Pour un échantillon $X_1, \dots, X_n$ de variables indépendantes et de même loi (espérance $\mu$ , variance $V$ ), la moyenne $M_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ vérifie $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ . On en déduit, pour tout réel $a > 0$ , l’inegalite de concentration :

$P\big(|M_n - \mu| \geqslant a\big) \leqslant \dfrac{V}{n\,a^2}$

À écart $a$ fixé, cette borne tend vers $0$ quand $n$ augmente : c’est la loi des grands nombres, qui garantit que la moyenne observée se rapproche de l’espérance.

Concentration de la moyenne d'un echantillon

On observe un échantillon de taille $n = 100$ tiré d’une loi d’espérance $\mu = 3$ et de variance $V = 2{,}1$ . On majore la probabilité que la moyenne $M_{100}$ s’écarte de $3$ de plus de $a = 0{,}5$ :

$P\big(|M_{100} - 3| \geqslant 0{,}5\big) \leqslant \dfrac{V}{n\,a^2} = \dfrac{2{,}1}{100 \times (0{,}5)^2} = \dfrac{2{,}1}{100 \times 0{,}25} = \dfrac{2{,}1}{25} = 0{,}084$

Conclusion : avec $100$ observations, l’écart de plus de $0{,}5$ a une probabilité d’au plus $0{,}084$ ; cette borne diminuerait encore avec un échantillon plus grand.

Denombrement : factorielle, permutations, combinaisons

Factorielle : $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ , avec $0! = 1$ . Par exemple $5! = 120$ .
Permutations : il y a $n!$ façons d’ordonner $n$ objets distincts (l’ordre compte).
Combinaisons : le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l’ordre est le coefficient binomial $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$
Principe multiplicatif : pour des choix successifs et indépendants, on multiplie les nombres de possibilités.

Compter avec le coefficient binomial

Combinaison. Dans un groupe de $20$ personnes, on choisit un comité de $3$ membres (sans rôle distinct, l’ordre ne compte pas) : $\binom{20}{3} = \dfrac{20 \times 19 \times 18}{3!} = \dfrac{6840}{6} = 1140$

Permutation. Le nombre de façons de classer $5$ finalistes sur un podium complet est $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ .

Principe multiplicatif. Un code formé d’une lettre (parmi $26$ ) suivie d’un chiffre (parmi $10$ ) offre $26 \times 10 = 260$ possibilités.

Conclusion : $\dbinom{20}{3} = 1140$ comités, $5! = 120$ classements et $260$ codes différents.

L'erreur classique a eviter

FAUX : confondre choix avec ordre et choix sans ordre. Pour désigner $2$ délégués (mêmes rôles) parmi $25$ , écrire $25 \times 24 = 600$ , c’est compter deux fois chaque paire.

VRAI : sans rôle distinct, l’ordre ne compte pas, on prend un coefficient binomial : $\binom{25}{2} = \dfrac{25 \times 24}{2!} = \dfrac{600}{2} = 300$ On garde $25 \times 24$ uniquement si les deux postes sont différents (un président et un trésorier), c’est-à-dire quand l’ordre compte.

A retenir pour le jour J

Loi binomiale : $E(X) = np$ , $V(X) = np(1-p)$ , $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ . Pour la variance d’une variable quelconque, pense à Koenig-Huygens : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ . Une inégalité de concentration donne toujours un $\leqslant$ , jamais un $=$ : c’est une borne. Et avant de dénombrer, pose-toi une seule question : « l’ordre compte-t-il ? » Oui $\rightarrow$ permutations ou principe multiplicatif ; non $\rightarrow$ coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ .

S'entraîner sur ces chapitres

Terminale

Concentration, loi des grands nombres

Cours et exercices →

Terminale

Combinatoire et dénombrement

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Comment calculer l'esperance et la variance d'une variable aleatoire ?

L'esperance se calcule en multipliant chaque valeur prise par la variable par sa probabilite, puis en additionnant tous ces produits. La variance s'obtient le plus souvent avec la formule de Koenig-Huygens : on calcule l'esperance des carres des valeurs, puis on retire le carre de l'esperance. L'ecart-type est la racine carree de la variance. Par exemple, pour une variable valant moins 1 avec une probabilite de 0,5, 0 avec une probabilite de 0,3 et 2 avec une probabilite de 0,2, l'esperance vaut moins 0,1 et la variance vaut 1,29.

Quelles sont les formules de l'esperance et de la variance d'une loi binomiale ?

Pour une variable aleatoire qui suit la loi binomiale de parametres n et p, c'est-a-dire le nombre de succes lors de n repetitions independantes d'une epreuve a deux issues, l'esperance vaut n fois p et la variance vaut n fois p fois 1 moins p. L'ecart-type est la racine carree de la variance. Par exemple, pour n egal a 10 et p egal a 0,3, l'esperance vaut 3 et la variance vaut 2,1.

A quoi sert l'inegalite de concentration au bac ?

L'inegalite de concentration majore la probabilite que la moyenne d'un echantillon de taille n s'ecarte de l'esperance de plus d'un seuil fixe. Elle dit que cette probabilite est inferieure ou egale a la variance divisee par n fois le carre du seuil. Comme cette borne tend vers 0 quand n grandit, elle justifie la loi des grands nombres : plus l'echantillon est grand, plus la moyenne observee est proche de l'esperance theorique.