Terminale · Chapitre 11

Concentration, loi des grands nombres

Cours de Terminale sur la concentration et la loi des grands nombres : inégalité de Bienaymé-Tchebychev, échantillon, moyenne M indice n, inégalité de concentration, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Variables aléatoires : loi de probabilité, espérance, variance et écart-type

Lorsqu’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la moyenne des résultats semble se stabiliser : c’est l’intuition derrière le fait qu’une pièce équilibrée donne « environ » la moitié de piles. Ce chapitre rend cette idée rigoureuse grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis à la loi des grands nombres.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu = E(X)$ et de variance $V = V(X)$ . Pour tout réel $a > 0$ :

$P\big(|X - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{V}{a^2}$

Cette inégalité majore la probabilité que $X$ s’écarte de son espérance de plus de $a$ , à partir de la seule variance - sans connaître la loi de $X$ . Plus la variance est petite, plus $X$ est concentrée autour de $\mu$ .

Échantillon de taille n et moyenne

Un échantillon de taille $n$ est une suite $X_1, X_2, \dots, X_n$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi (mêmes espérance $\mu$ et variance $V$ ). On lui associe la moyenne :

$M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$

$M_n$ est elle-même une variable aléatoire : elle modélise la moyenne observée sur $n$ répétitions de l’expérience.

Espérance et variance de la moyenne

Pour la moyenne $M_n$ d’un échantillon de taille $n$ :

$E(M_n) = \mu \qquad \text{et} \qquad V(M_n) = \dfrac{V}{n}$

L’espérance de $M_n$ reste $\mu$ , mais sa variance est divisée par $n$ : la moyenne est donc bien moins dispersée qu’une observation isolée. L’écart-type, lui, est divisé par $\sqrt{n}$ .

Inégalité de concentration

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ (d’espérance $\mu$ et de variance $\frac{V}{n}$ ), on obtient, pour tout réel $a > 0$ :

$P\big(|M_n - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{V}{n\,a^2}$

À écart $a$ fixé, le membre de droite tend vers $0$ quand $n$ augmente : la moyenne $M_n$ a une probabilité de plus en plus faible de s’éloigner de $\mu$ .

Loi des grands nombres

Soit $(X_n)$ une suite de variables indépendantes et de même loi, d’espérance $\mu$ , et $M_n$ la moyenne des $n$ premières. Pour tout réel $a > 0$ :

$\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - \mu| \geq a\big) = 0$

Autrement dit, quand $n$ devient grand, $M_n$ se concentre autour de $\mu$ . C’est ce qui justifie d’estimer une espérance par une moyenne observée : plus on répète l’expérience, plus la moyenne est proche de $\mu$ .

Majorer une probabilité d'écart

Identifier $\mu$ , la variance $V$ (et la taille $n$ s’il s’agit d’un échantillon).
Repérer l’écart $a > 0$ : la probabilité à majorer doit être de la forme $P(|X - \mu| \geq a)$ ou $P(|M_n - \mu| \geq a)$ .
Appliquer la bonne inégalité : $\dfrac{V}{a^2}$ pour une variable, $\dfrac{V}{n\,a^2}$ pour une moyenne.
Calculer la fraction et conclure : c’est une borne supérieure, la vraie probabilité est inférieure ou égale.

Les pièges classiques

L’inégalité donne une majoration, pas la valeur exacte : on écrit $\leq$ , jamais $=$ . La probabilité réelle est souvent bien plus petite.
Si la borne trouvée dépasse $1$ , elle est inutile (toute probabilité est $\leq 1$ ) : ce n’est pas une erreur de calcul, juste une majoration trop grossière.
Pour un échantillon, ne pas oublier de diviser la variance par $n$ : on utilise $\dfrac{V}{n\,a^2}$ , et pas $\dfrac{V}{a^2}$ .
L’inégalité s’applique à un écart $|X - \mu| \geq a$ centré sur $\mu$ : penser à reformuler l’énoncé sous cette forme avant de l’utiliser.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Espérance et écart-type de la taille moyenne de fichiers vidéo

Un créateur de contenu met en ligne des vidéos. La taille (en Mo) d'une vidéo est modélisée par une variable aléatoire d'espérance $\mu = 800$ Mo et de variance $V = 2500$ (en $\text{Mo}^2$ ). Il publie $n = 25$ vidéos de façon indépendante ; on note $M_{25} = \dfrac{X_1 + \dots + X_{25}}{25}$ la taille moyenne de ces vidéos. Calculer $E(M_{25})$ et $V(M_{25})$ , puis l'écart-type de $M_{25}$ .

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Espérance et variance de la moyenne d'un échantillon

On répète $n = 50$ fois, de façon indépendante, une expérience modélisée par une variable aléatoire d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V = 4$ . On note $X_1, \dots, X_{50}$ les résultats et $M_{50} = \dfrac{X_1 + \dots + X_{50}}{50}$ leur moyenne. Calculer $E(M_{50})$ et $V(M_{50})$ .

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Majorer une probabilité avec Bienaymé-Tchebychev

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $\mu = 10$ et pour variance $V = 4$ . À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité $P(|X - 10| \geq 4)$ .

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Appliquer l'inégalité de concentration

On considère un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V = 4$ . On note $M_{100}$ la moyenne de l'échantillon. Majorer la probabilité $P(|M_{100} - 10| \geq 1)$ que la moyenne observée s'écarte de $10$ d'au moins $1$ .

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Concentration de la durée moyenne d'une session de jeu

Sur un jeu en ligne, la durée (en minutes) d'une session d'un joueur est modélisée par une variable aléatoire d'espérance $\mu = 45$ min et de variance $V = 144$ (en $\text{min}^2$ ). Un studio analyse un échantillon de $n = 64$ sessions indépendantes et calcule la durée moyenne $M_{64}$ . Majorer la probabilité $P(|M_{64} - 45| \geq 3)$ que la durée moyenne observée s'écarte de $45$ min d'au moins $3$ min, puis interpréter.

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Loi des grands nombres : fréquence d'apparition d'un dé

On lance un grand nombre de fois un dé équilibré à six faces. Pour chaque lancer $i$ , on pose $X_i = 1$ si on obtient un $6$ , et $X_i = 0$ sinon. La moyenne $M_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ représente la fréquence d'apparition du $6$ sur les $n$ premiers lancers.

1. Calculer l'espérance $\mu = E(X_i)$ d'un lancer.
2. À l'aide de la loi des grands nombres, expliquer vers quelle valeur se stabilise la fréquence $M_n$ quand $n$ devient grand.

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Bonus

Déterminer la taille d'échantillon pour une précision donnée (problème)

Une chaîne de production fabrique des pièces dont la masse est modélisée par une variable aléatoire d'espérance $\mu$ inconnue et de variance $V = 4$ (en $\text{g}^2$ ). Pour estimer $\mu$ , on prélève un échantillon de taille $n$ et on calcule la masse moyenne $M_n$ . On souhaite garantir que la probabilité que $M_n$ s'écarte de $\mu$ de plus de $a = 0{,}5$ g soit au plus $\alpha = 0{,}05$ . Déterminer la plus petite taille $n$ d'échantillon assurant cette précision.

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Profit moyen sur la revente de sneakers (problème)

Un revendeur achète puis revend des paires de sneakers. Le profit (en euros) réalisé sur une paire est modélisé par une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu = 20$ et de variance $V = 81$ (en $\text{euros}^2$ ). Les paires sont revendues de façon indépendante.

1. Pour une seule paire, majorer la probabilité $P(|X - 20| \geq 15)$ que le profit s'écarte de $20$ euros d'au moins $15$ euros.
2. Le revendeur écoule $n = 100$ paires et note $M_{100}$ le profit moyen par paire. Majorer la probabilité $P(|M_{100} - 20| \geq 3)$ .
3. À l'aide de la loi des grands nombres, expliquer ce que devient ce profit moyen si le revendeur écoule un très grand nombre de paires.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Pour une variable aléatoire X d'espérance μ et de variance V, et pour tout réel a > 0, on a P(|X − μ| ≥ a) ≤ V divisé par a au carré. Elle majore la probabilité que X s'écarte de son espérance de plus de a, à partir de la seule variance, sans connaître la loi de X.

Que valent l'espérance et la variance de la moyenne d'un échantillon ?

Pour un échantillon de taille n de moyenne M indice n = (X indice 1 + … + X indice n) divisé par n, on a E(M indice n) = μ et V(M indice n) = V divisé par n. L'espérance reste celle d'une observation, mais la variance est divisée par n : la moyenne est donc bien moins dispersée qu'une seule valeur.

Qu'affirme la loi des grands nombres ?

Quand la taille n de l'échantillon devient grande, la moyenne M indice n se concentre autour de l'espérance μ : la probabilité que M indice n s'écarte de μ de plus d'un seuil fixé a > 0 tend vers 0. C'est ce qui justifie d'estimer une espérance par une moyenne observée.