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Fiche de révision · Seconde

Révision : les fonctions affines

Q: Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine à partir de deux points ?

Si la droite passe par deux points de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2) avec x1 différent de x2, le coefficient directeur a est égal à la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, c'est-à-dire (y2 moins y1) divisé par (x2 moins x1). Par exemple, entre les points (1, 3) et (4, 9), on obtient a égal à (9 moins 3) divisé par (4 moins 1), soit 6 divisé par 3, c'est-à-dire 2.

Q: Comment connaître le sens de variation d'une fonction affine ?

Le sens de variation d'une fonction affine f(x) = ax + b ne dépend que du signe du coefficient directeur a. Si a est positif, la fonction est croissante. Si a est négatif, la fonction est décroissante. Si a est nul, la fonction est constante et sa courbe est une droite horizontale.

Q: Comment déterminer le signe d'une fonction affine ?

Une fonction affine f(x) = ax + b avec a non nul s'annule pour x égal à moins b divisé par a. Avant et après cette valeur, la fonction change de signe. On résume cela dans un tableau de signes : quand a est positif, f est négative avant la racine puis positive après ; quand a est négatif, c'est l'inverse.

Révision des fonctions affines en seconde : forme ax + b, coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation, signe et lecture graphique.

Mis à jour en juin 2026

Une fonction affine est l’un des outils de base de la classe de seconde : sa représentation graphique est une droite, et l’on sait tout dire d’elle à partir de deux nombres, $a$ et $b$ . Cette fiche rassemble l’essentiel : la forme $f(x) = ax + b$ , le calcul du coefficient directeur, le sens de variation, le signe et la résolution graphique.

À la fin de cette fiche, je sais

reconnaître une fonction affine et identifier $a$ et $b$ ;
calculer le coefficient directeur à partir de deux points ;
lire l’ordonnée à l’origine sur un graphique ;
donner le sens de variation selon le signe de $a$ ;
dresser le tableau de signes d’une fonction affine ;
résoudre graphiquement une équation ou une inéquation.

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction $f$ qui s’écrit, pour tout réel $x$ : $f(x) = ax + b$

où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.

$a$ est le coefficient directeur (la « pente ») ;
$b$ est l’ordonnée à l’origine (la valeur de $f$ en $0$ , car $f(0) = b$ ).

Sa représentation graphique est une droite. Si $b = 0$ , la fonction est linéaire.

Coefficient directeur à partir de deux points

Si la droite passe par deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ , alors : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

C’est la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.

Trouver a entre A(1 ; 3) et B(4 ; 9)

On applique la formule : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$

Le coefficient directeur vaut $a = 2$ .

Déterminer l'expression de f

Calculer le coefficient directeur $a$ avec la formule des deux points.
Trouver $b$ en remplaçant $x$ et $f(x)$ par les coordonnées d’un point connu.
Écrire $f(x) = ax + b$ avec les valeurs trouvées.

Expression de f passant par A(1 ; 3) et B(4 ; 9)

On a déjà $a = 2$ , donc $f(x) = 2x + b$ .

On utilise le point $A(1\,;\,3)$ , c’est-à-dire $f(1) = 3$ : $2 \times 1 + b = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2 + b = 3 \quad\Longrightarrow\quad b = 1$

L’expression cherchée est $f(x) = 2x + 1$ .

Vérification avec $B$ : $f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9$ . C’est cohérent.

Sens de variation selon le signe de a

Le sens de variation de $f(x) = ax + b$ ne dépend que du signe de $a$ :

si $a > 0$ , $f$ est croissante ;
si $a < 0$ , $f$ est décroissante ;
si $a = 0$ , $f$ est constante (droite horizontale).

Voir la pente

Le coefficient directeur $a$ indique de combien $f(x)$ varie quand $x$ augmente de $1$ . Avec $a = 2$ , chaque pas de $+1$ sur les $x$ fait monter de $2$ : la droite « monte », donc $f$ est croissante.

Signe d'une fonction affine (a non nul)

Résoudre $ax + b = 0$ : la fonction s’annule en $x = -\dfrac{b}{a}$ .
Placer cette racine dans un tableau de signes.
Appliquer la règle : pour $a > 0$ , $f$ est négative avant la racine puis positive après ; pour $a < 0$ , c’est l’inverse.

Signe de f(x) = 2x + 1

On résout $2x + 1 = 0$ , donc $x = -\dfrac{1}{2}$ .

Comme $a = 2 > 0$ , $f$ est négative avant $-\dfrac{1}{2}$ et positive après :

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{1}{2}$		$+\infty$
signe de $f(x)$		$-$	$0$	$+$

$f(x) < 0$ pour $x < -\dfrac{1}{2}$ , et $f(x) > 0$ pour $x > -\dfrac{1}{2}$ .

Résolution graphique

Sur le graphique de $f$ :

résoudre $f(x) = k$ : on repère l’ordonnée $k$ , on lit l’abscisse du point de la droite à cette hauteur ;
résoudre $f(x) > k$ : on lit l’ensemble des $x$ pour lesquels la droite est au-dessus de la hauteur $k$ ;
résoudre $f(x) < k$ : on lit les $x$ pour lesquels la droite est en dessous.

Résoudre graphiquement f(x) = 0

Résoudre $f(x) = 0$ revient à chercher l’abscisse du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses.

Pour $f(x) = 2x + 1$ , ce point a pour abscisse $-\dfrac{1}{2}$ .

La solution est $x = -\dfrac{1}{2}$ , ce qui confirme le tableau de signes.

L'erreur classique à éviter

FAUX : pour deux points $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,9)$ , écrire $a = \dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ (on a inversé le quotient).

VRAI : le coefficient directeur est la variation des ordonnées sur la variation des abscisses, soit $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{6}{3} = 2$ . On met bien les $y$ en haut et les $x$ en bas.

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Seconde

Les fonctions affines

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Questions fréquentes

Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine à partir de deux points ?

Si la droite passe par deux points de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2) avec x1 différent de x2, le coefficient directeur a est égal à la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, c'est-à-dire (y2 moins y1) divisé par (x2 moins x1). Par exemple, entre les points (1, 3) et (4, 9), on obtient a égal à (9 moins 3) divisé par (4 moins 1), soit 6 divisé par 3, c'est-à-dire 2.

Comment connaître le sens de variation d'une fonction affine ?

Le sens de variation d'une fonction affine f(x) = ax + b ne dépend que du signe du coefficient directeur a. Si a est positif, la fonction est croissante. Si a est négatif, la fonction est décroissante. Si a est nul, la fonction est constante et sa courbe est une droite horizontale.

Comment déterminer le signe d'une fonction affine ?

Une fonction affine f(x) = ax + b avec a non nul s'annule pour x égal à moins b divisé par a. Avant et après cette valeur, la fonction change de signe. On résume cela dans un tableau de signes : quand a est positif, f est négative avant la racine puis positive après ; quand a est négatif, c'est l'inverse.