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Rêves Vision
Première ST2S

Équation d'une tangente à une courbe

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−4 x+5.f(x) = x^2 - 4\,x + 5. On note C\mathcal{C} sa courbe. a) Calculer f(1).f(1). b) Déterminer la fonction dérivée f′f', puis calculer f′(1).f'(1). c) En déduire l'équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 1.1.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le point de contact a pour abscisse a=1a = 1 : son ordonnée est f(1)f(1), que tu obtiens en remplaçant xx par 1.1.
  2. La tangente a pour coefficient directeur le nombre dérivé f′(1)f'(1) : dérive d'abord ff, puis remplace xx par 1.1.
  3. Utilise la formule y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a) avec a=1a = 1, puis développe pour obtenir une équation de la forme y=m x+p.y = m\,x + p.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Ordonnée du point de contact

    On remplace xx par 11 dans f(x)=x2−4 x+5.f(x) = x^2 - 4\,x + 5. On obtient f(1)=12−4×1+5=1−4+5=2.f(1) = 1^2 - 4 \times 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2. Le point de contact de la tangente est donc le point de coordonnées (1 ; 2).(1\,;\,2).

  2. 2. b) Coefficient directeur

    On dérive ff terme par terme : la dérivée de x2x^2 est 2 x2\,x, celle de −4 x-4\,x est −4-4, celle de 55 est 0.0. Donc f′(x)=2 x−4.f'(x) = 2\,x - 4. Le coefficient directeur de la tangente est f′(1)=2×1−4=2−4=−2.f'(1) = 2 \times 1 - 4 = 2 - 4 = -2.

  3. 3. c) Équation de la tangente

    On applique la formule y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a) avec a=1a = 1, f′(1)=−2f'(1) = -2 et f(1)=2f(1) = 2 : y=−2 (x−1)+2.y = -2\,(x - 1) + 2. On développe : y=−2 x+2+2=−2 x+4.y = -2\,x + 2 + 2 = -2\,x + 4. La tangente à la courbe au point d'abscisse 11 a pour équation y=−2 x+4.y = -2\,x + 4.
Réponse finale
f(1)=2;f′(x)=2 x−4 et f′(1)=−2;y=−2 x+4f(1) = 2 \quad ; \quad f'(x) = 2\,x - 4 \text{ et } f'(1) = -2 \quad ; \quad y = -2\,x + 4
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