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Rêves Vision
Première ST2S

Signe de la dérivée et phases d'un médicament

Énoncé

Après une injection, la concentration (en mg/L) d'un produit dans le sang est modélisée pour 0≤t≤40 \le t \le 4 (en heures) par C(t)=−3 t2+12 t.C(t) = -3\,t^2 + 12\,t. a) Déterminer la fonction dérivée C′.C'. b) Résoudre l'équation C′(t)=0.C'(t) = 0. c) Étudier le signe de C′C' sur [0 ; 4][0\,;\,4] et en déduire les phases (montée puis descente) de la concentration.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour dériver, rappelle-toi que la dérivée de −3 t2-3\,t^2 vaut −3×2 t-3 \times 2\,t et que la dérivée de 12 t12\,t vaut 12.12.
  2. C′(t)=−6 t+12C'(t) = -6\,t + 12 est une expression affine : pour résoudre C′(t)=0C'(t) = 0, isole tt comme dans une équation du premier degré.
  3. Une expression affine −6 t+12-6\,t + 12 change de signe en la valeur qui l'annule : elle est positive avant, négative après (car le coefficient de tt est négatif). Le signe de C′C' donne directement les variations de C.C.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Fonction dérivée

    On dérive terme par terme. La dérivée de −3 t2-3\,t^2 est −3×2 t=−6 t.-3 \times 2\,t = -6\,t. La dérivée de 12 t12\,t est 12.12. Donc C′(t)=−6 t+12.C'(t) = -6\,t + 12.

  2. 2. b) Résoudre C'(t) = 0

    On résout −6 t+12=0.-6\,t + 12 = 0. On retranche 1212 aux deux membres : −6 t=−12.-6\,t = -12. On divise par −6-6 : t=−12−6=2.t = \dfrac{-12}{-6} = 2. La dérivée s'annule donc en t=2t = 2 heures.

  3. 3. c) Signe de la dérivée et phases

    L'expression C′(t)=−6 t+12C'(t) = -6\,t + 12 est affine de coefficient −6<0-6 < 0 : elle est donc positive avant t=2t = 2 et négative après. Quand C′(t)>0C'(t) > 0 (sur [0 ; 2[[0\,;\,2[), la concentration est croissante : c'est la phase de montée. Quand C′(t)<0C'(t) < 0 (sur ]2 ; 4]]2\,;\,4]), la concentration est décroissante : c'est la phase d'élimination. La concentration monte jusqu'à t=2t = 2 heures, puis redescend.
Réponse finale
C′(t)=−6 t+12;C′(t)=0 pour t=2;C croissante sur [0 ; 2], deˊcroissante sur [2 ; 4]C'(t) = -6\,t + 12 \quad ; \quad C'(t) = 0 \text{ pour } t = 2 \quad ; \quad C \text{ croissante sur } [0\,;\,2]\text{, décroissante sur } [2\,;\,4]
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