Aller au contenu
Rêves Vision
Première STMG Approfondissement gratuit

Minimiser un coût de production (bonus)

Énoncé

Une usine produit xx centaines de pièces par jour. Son coût total de production, en euros, est modélisé par C(x)=0,5x2−20x+600C(x) = 0{,}5x^{2} - 20x + 600 pour 0≤x≤400 \le x \le 40. Déterminer la quantité de pièces qui rend le coût minimal, puis calculer ce coût minimal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le coût est minimal là où sa dérivée s'annule en changeant de signe : commence par calculer C′(x)C'(x).
  2. Résous C′(x)=0C'(x) = 0 pour trouver la valeur de xx candidate, puis vérifie que C′C' passe bien du négatif au positif (signe d'un minimum).
  3. Une fois la quantité optimale trouvée, calcule CC de cette valeur pour obtenir le coût minimal. N'oublie pas que xx est exprimé en centaines de pièces.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la fonction dérivée

    On dérive terme à terme : (0,5x2)′=0,5×2x=x\left(0{,}5x^{2}\right)' = 0{,}5 \times 2x = x, (−20x)′=−20\left(-20x\right)' = -20 et (600)′=0.\left(600\right)' = 0. Donc C′(x)=x−20.C'(x) = x - 20.

  2. 2. Résoudre C prime de x égale 0

    On résout x−20=0x - 20 = 0, soit x=20.x = 20. La dérivée s'annule pour x=20.x = 20.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    C′(x)=x−20C'(x) = x - 20 est une fonction affine de coefficient directeur positif : elle est négative avant 2020 et positive après 20.20. Pour x<20x < 20, C′(x)<0C'(x) < 0 donc CC est décroissante ; pour x>20x > 20, C′(x)>0C'(x) > 0 donc CC est croissante. La dérivée passe du négatif au positif en 2020 : c'est bien un minimum.

  4. 4. Calculer le coût minimal

    On calcule C(20)=0,5×202−20×20+600=0,5×400−400+600=200−400+600=400.C(20) = 0{,}5 \times 20^{2} - 20 \times 20 + 600 = 0{,}5 \times 400 - 400 + 600 = 200 - 400 + 600 = 400.

  5. 5. Conclure

    Le coût est minimal pour x=20x = 20, c'est-à-dire 2 0002\,000 pièces par jour, et il vaut alors 400400 euros. En dessous de cette quantité le coût baisse encore, au-dessus il remonte : 2 0002\,000 pièces est donc le niveau de production le plus économique.
Réponse finale
C′(x)=x−20=0⇒x=20 (2 000 pieˋces),C(20)=400 euros (minimum)C'(x) = x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20 \ (2\,000 \text{ pièces}), \quad C(20) = 400 \text{ euros (minimum)}
Signaler une erreur

Ta progression

Chapitre

La dérivation : nombre dérivé, tangente et variations ← Retour au cours

À suivre