Pour une fonction u dérivable, quel est le signe de la dérivée de e^u ?

le signe opposé à celui de u'

Quiz : Composition et dérivation (Tle STI2D)

Bonne réponse : $\left(f(u)\right)' = u' \times f'(u)$

La règle de la chaîne donne $\left(f(u)\right)' = u' \times f'(u)$ : on dérive l'extérieur en gardant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur $u'$ .

Bonne réponse : $f'(t) = -2\,\mathrm{e}^{-2t}$

Avec $u(t) = -2t$ donc $u'(t) = -2$ , la formule $(\mathrm{e}^{u})' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ donne $f'(t) = -2\,\mathrm{e}^{-2t}$ . Oublier le facteur $-2$ est l'erreur la plus fréquente.

Bonne réponse : $g'(x) = \dfrac{2}{2x + 1}$

Pour $\ln(u)$ , on a $(\ln(u))' = \dfrac{u'}{u}$ . Ici $u = 2x + 1$ donc $u' = 2$ , d'où $g'(x) = \dfrac{2}{2x + 1}$ (et non $\dfrac{1}{2x + 1}$ ).

Bonne réponse : $h'(t) = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}$

Pour $\sqrt{u}$ , on a $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ . Ici $u = 1 + t^{2}$ donc $u' = 2t$ , d'où $h'(t) = \dfrac{2t}{2\sqrt{1 + t^{2}}} = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ .

Bonne réponse : le même signe que $u'$

Comme $(\mathrm{e}^{u})' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ et $\mathrm{e}^{u} > 0$ partout, le signe de la dérivée est exactement celui de $u'$ . Étudier les variations de $\mathrm{e}^{u}$ revient donc à étudier le signe de $u'$ .

Bonne réponse : $t = \ln 2$

Le facteur $100\,\mathrm{e}^{-2t}$ est positif, donc le signe de $p'$ est celui de $2 - \mathrm{e}^{t}$ , positif tant que $\mathrm{e}^{t} < 2$ , c'est-à-dire $t < \ln 2$ . La dérivée passe de $+$ à $-$ en $t = \ln 2$ : c'est un maximum.