Terminale STI2D · Chapitre 4

Composition et dérivation

Cours de Terminale STI2D sur la composition et la dérivation : dériver exponentielle de u, logarithme de u, u puissance n, racine de u, et étude complète. Exercices technologiques corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En STI2D, beaucoup de grandeurs s’écrivent comme une fonction placée à l’intérieur d’une autre : la tension d’un condensateur qui se charge contient une exponentielle de $-\dfrac{t}{RC}$ , la position d’un mobile une racine carrée, le niveau sonore un logarithme. Pour étudier leur vitesse de variation, leur maximum ou leur minimum, il faut savoir dériver ces fonctions composées. C’est l’objet de ce chapitre : une seule règle, la règle de la chaîne, déclinée sur les fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , puissances, racine), puis l’étude complète d’une fonction.

Mes objectifs sur ce chapitre

À la fin de ce chapitre, je sais :

reconnaître une fonction composée $f(u)$ et identifier sa fonction « intérieure » $u$ ;
appliquer la règle de dérivation d’une fonction composée ;
dériver les composées usuelles : $e^{u}$ , $\ln(u)$ , $u^{n}$ et $\sqrt{u}$ ;
déterminer le signe d’une dérivée composée et en déduire les variations ;
mener une étude complète (dérivée, signe, tableau de variations, extremum) sur un modèle technologique.

À quoi ça sert, concrètement ?

Quand tu branches un condensateur sur une pile à travers une résistance, sa tension monte selon $u(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ . Pour connaître la vitesse de charge à un instant donné, tu dois dériver cette expression… qui contient une exponentielle d’une fonction du temps.

Même chose pour un signal qui s’atténue ( $e^{-\alpha t}$ ), une température qui refroidit, ou la puissance instantanée d’un circuit (un produit de termes exponentiels) dont on cherche le pic. Toutes ces fonctions sont composées. Savoir les dériver, c’est pouvoir répondre à « à quelle vitesse ? » et « quand est-ce maximal ? » sur des systèmes réels.

1. Fonction composée

Fonction composée

Composer deux fonctions, c’est enchaîner leurs effets : on applique d’abord une fonction $u$ , puis une fonction $f$ au résultat. On obtient la fonction $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ , appelée composée.

La fonction $u$ est la fonction intérieure (celle « sous » l’autre), $f$ est la fonction extérieure.

Repérer l'intérieur et l'extérieur

Dans $e^{-2t}$ : l’intérieur est $u(t) = -2t$ , l’extérieur est l’exponentielle. C’est « l’exponentielle de $-2t$ ».
Dans $\ln(2x + 1)$ : l’intérieur est $u(x) = 2x + 1$ , l’extérieur est le logarithme.
Dans $\sqrt{1 + t^{2}}$ : l’intérieur est $u(t) = 1 + t^{2}$ , l’extérieur est la racine carrée.

Le bon réflexe : se demander « quelle fonction est appliquée en dernier ? ». C’est elle, l’extérieure.

2. Dériver une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée (règle de la chaîne)

Soit $u$ une fonction dérivable et $f$ une fonction dérivable. La composée $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ est dérivable, et sa dérivée est :

$\Big(f(u)\Big)' = u' \times f'(u).$

Autrement dit : on dérive l’extérieur (en gardant l’intérieur intact), puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur $u'$ .

Dériver une composée en 3 temps

Identifier la fonction intérieure $u$ et calculer $u'$ .
Dériver l’extérieur sans toucher à l’intérieur (par exemple, la dérivée de $\sqrt{\ }$ ou de $\ln$ ).
Multiplier par $u'$ , puis simplifier.

Le facteur $u'$ qui apparaît est la marque de fabrique d’une fonction composée : si tu oublies de le mettre, c’est que tu as oublié de dériver l’intérieur.

3. Les dérivées composées usuelles

Les quatre formules à connaître

Pour une fonction $u$ dérivable (et strictement positive là où c’est nécessaire) :

Fonction	Dérivée
$e^{u}$	$u' \, e^{u}$
$\ln(u)$ (avec $u > 0$ )	$\dfrac{u'}{u}$
$u^{n}$ ( $n$ entier)	$n \, u' \, u^{\,n-1}$
$\sqrt{u}$ (avec $u > 0$ )	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

On retrouve chacune en appliquant la règle $\big(f(u)\big)' = u' \times f'(u)$ aux dérivées usuelles de $\exp$ , $\ln$ , $x^{n}$ et $\sqrt{x}$ .

Dériver une exponentielle composée

Soit $f(t) = e^{-2t}$ (un signal amorti).

L’intérieur est $u(t) = -2t$ , donc $u'(t) = -2$ . La formule donne :

$f'(t) = u' \, e^{u} = -2 \, e^{-2t}.$

Comme $e^{-2t} > 0$ pour tout $t$ , le signe de $f'$ est celui de $-2$ : $f'(t) < 0$ , donc $f$ est décroissante. Le signal s’atténue, c’est cohérent.

Dériver un logarithme composé

Soit $g(x) = \ln(2x + 1)$ , définie pour $2x + 1 > 0$ , c’est-à-dire $x > -\dfrac{1}{2}$ .

L’intérieur est $u(x) = 2x + 1$ , donc $u'(x) = 2$ . La formule donne :

$g'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2}{2x + 1}.$

Sur le domaine, $2x + 1 > 0$ et $2 > 0$ , donc $g'(x) > 0$ : $g$ est croissante sur $\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ .

Dériver une racine composée

Soit $h(t) = \sqrt{1 + t^{2}}$ .

L’intérieur est $u(t) = 1 + t^{2}$ , donc $u'(t) = 2t$ . La formule donne :

$h'(t) = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{2t}{2\sqrt{1 + t^{2}}} = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}.$

On simplifie le facteur $2$ au numérateur et au dénominateur. Le signe de $h'$ est celui de $t$ (le dénominateur est toujours positif).

Le facteur u prime sort des constantes

Quand l’intérieur est de la forme $u(t) = a\,t + b$ , sa dérivée est simplement la constante $u' = a$ . C’est pour ça que la dérivée de $e^{-2t}$ « sort un $-2$ », celle de $e^{kt}$ sort un $k$ , et celle de $e^{-\frac{t}{\tau}}$ sort un $-\dfrac{1}{\tau}$ . Repère vite ce coefficient : c’est lui qui passe devant.

Le piège : oublier de multiplier par u prime

FAUX : « la dérivée de $e^{-2t}$ est $e^{-2t}$ » (on a recopié l’exponentielle sans rien d’autre).

VRAI : il faut multiplier par la dérivée de l’intérieur $u' = -2$ . La dérivée est donc $-2\,e^{-2t}$ .

L’oubli du facteur $u'$ est l’erreur numéro un sur les composées. Le test : si ta dérivée de $e^{u}$ ou de $\ln(u)$ ne contient aucune trace de $u'$ , c’est qu’il manque quelque chose. De même, la dérivée de $\ln(2x+1)$ est $\dfrac{2}{2x+1}$ , pas $\dfrac{1}{2x+1}$ .

4. Signe d’une dérivée composée

Le signe de l'exponentielle est toujours positif

Pour toute fonction $u$ dérivable, comme $e^{u} > 0$ partout, la dérivée

$\big(e^{u}\big)' = u' \, e^{u}$

a le même signe que $u'$ . Étudier les variations de $e^{u}$ revient donc à étudier le signe de $u'$ , ce qui est souvent bien plus simple.

Le signe du logarithme composé

Là où $\ln(u)$ est définie, on a $u > 0$ . La dérivée

$\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$

a donc, elle aussi, le même signe que $u'$ (le dénominateur $u$ étant strictement positif). Là encore, le signe de la dérivée se ramène à celui de $u'$ .

Un raccourci très utile en technologie

Pour $e^{u}$ comme pour $\ln(u)$ , le signe de la dérivée est celui de $u'$ . Sur les modèles du type $e^{-\alpha t}$ avec $\alpha > 0$ , on a $u' = -\alpha < 0$ : la fonction est décroissante (un signal qui s’atténue, une charge qui se vide). Pas besoin de calculer l’exponentielle pour le savoir.

5. Étude complète d’une fonction composée

Mener une étude complète

Pour étudier une fonction $f$ (souvent un modèle physique) sur un intervalle $I$ :

Préciser l’ensemble de définition (penser aux conditions $u > 0$ pour $\ln$ et $\sqrt{\ }$ ).
Calculer la dérivée $f'$ avec la règle de la chaîne, puis la factoriser (mettre en facteur ce qui est toujours positif, comme une exponentielle).
Étudier le signe de $f'$ sur $I$ (souvent ramené au signe d’un facteur simple).
Dresser le tableau de variations : flèche montante là où $f' > 0$ , descendante là où $f' < 0$ .
Repérer les extremums (la dérivée s’annule en changeant de signe) et calculer leur valeur.

Étude d'une puissance instantanée (cas technologique)

La puissance instantanée fournie à un circuit est modélisée par $p(t) = 100\left(e^{-t} - e^{-2t}\right)$ (en watts, $t$ en millisecondes), pour $t \geq 0$ .

Dérivée. On dérive chaque exponentielle composée : $\big(e^{-t}\big)' = -e^{-t}$ et $\big(e^{-2t}\big)' = -2\,e^{-2t}$ . Donc

$p'(t) = 100\left(-e^{-t} + 2\,e^{-2t}\right).$

Factorisation. On met $e^{-2t}$ en facteur (il est toujours positif) :

$p'(t) = 100 \, e^{-2t}\left(2 - e^{t}\right).$

Signe. Comme $100\,e^{-2t} > 0$ , le signe de $p'(t)$ est celui de $2 - e^{t}$ . Or $2 - e^{t} > 0 \iff e^{t} < 2 \iff t < \ln 2$ . Donc $p'(t) > 0$ pour $t < \ln 2$ et $p'(t) < 0$ pour $t > \ln 2$ .

Variations. $p$ croît sur $[0\,;\,\ln 2]$ puis décroît sur $[\ln 2\,;\,+\infty[$ : elle admet un maximum en $t = \ln 2 \approx 0{,}69$ ms. Sa valeur est

$p(\ln 2) = 100\left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4}\right) = 25 \ \text{W}.$

Le pic de puissance vaut $25$ W : valeur positive et cohérente.

Le piège : conclure à un extremum sans changement de signe

FAUX : « la dérivée s’annule en $t = a$ , donc il y a un extremum en $a$ ».

VRAI : il faut que $f'$ change de signe en $a$ . Pour la puissance ci-dessus, $p'$ passe bien de $+$ à $-$ en $t = \ln 2$ : c’est donc un maximum. Mais une dérivée qui s’annule sans changer de signe (comme $u' \, e^{u}$ quand $u'$ ne change pas de signe) ne donne aucun extremum.

Vérifie toujours le signe de part et d’autre avant d’écrire « maximum » ou « minimum ».

Toujours vérifier l'ordre de grandeur

Sur un modèle physique, contrôle que le résultat a un sens : une puissance maximale positive, une vitesse positive, un instant $t \geq 0$ . Un pic de puissance négatif ou un temps négatif doit te mettre la puce à l’oreille : il y a sûrement une erreur de signe dans la dérivée.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Dériver un logarithme et donner son signe

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln(2x + 1)$ . Donner l'ensemble de définition de $g$ , calculer sa dérivée $g'(x)$ , puis déterminer le signe de $g'$ et le sens de variation de $g$ .

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Dériver un signal amorti

L'amplitude d'un signal amorti, en volts, est modélisée par $f(t) = e^{-2t}$ , où $t$ est le temps (en millisecondes), avec $t \geq 0$ . Calculer la dérivée $f'(t)$ , puis en déduire le sens de variation de $f$ .

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Niveau sonore d'une enceinte : dériver un logarithme

Sur une enceinte connectée, le niveau sonore en décibels est modélisé en fonction de la puissance électrique $x$ (en watts) par $N(x) = 10\,\ln(4x + 1)$ , pour $x \geq 0$ . Calculer la dérivée $N'(x)$ , déterminer son signe, puis en déduire le sens de variation de $N$ . La question « le son augmente-t-il toujours quand on monte la puissance ? » se traduit par l'étude des variations.

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Coût d'une pièce imprimée en 3D : dériver une puissance de u

Dans un atelier de fabrication additive, le coût de revient d'une pièce imprimée en 3D, en euros, est modélisé en fonction de l'épaisseur de paroi $x$ (en millimètres) par $C(x) = (2x + 1)^{4}$ , pour $x \geq 0$ . Calculer la dérivée $C'(x)$ à l'aide de la dérivée d'une puissance composée, déterminer son signe sur $[0\,;\,+\infty[$ , puis calculer le coût $C(1)$ et la vitesse de variation du coût $C'(1)$ pour une paroi de $1$ mm.

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La vitesse d'un mobile avec une racine carrée

Un mobile se déplace sur un rail. Sa position, en mètres, est donnée par $x(t) = \sqrt{1 + t^{2}}$ , où $t$ est le temps (en secondes), avec $t \geq 0$ . La vitesse instantanée est la dérivée de la position. Calculer la vitesse $v(t) = x'(t)$ , puis déterminer le signe de $v$ et calculer la vitesse à l'instant $t = 2$ s.

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Puissance qui décroît : variations et tangente au démarrage

Après ouverture d'un interrupteur, la puissance dissipée par une résistance, en watts, est modélisée par $P(t) = 5\,e^{-\frac{t}{2}}$ , où $t$ est le temps (en secondes), avec $t \geq 0$ . Déterminer le sens de variation de $P$ , puis donner l'équation de la tangente à la courbe de $P$ au point d'abscisse $t = 0$ .

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Bonus

Étude complète de la puissance instantanée d'un circuit

Lors de la charge d'un circuit, la puissance instantanée reçue par un composant, en watts, est modélisée par $p(t) = 100\left(e^{-t} - e^{-2t}\right)$ , où $t$ est le temps (en millisecondes), avec $t \geq 0$ . Étudier les variations de $p$ sur $[0\,;\,+\infty[$ , puis déterminer l'instant où la puissance est maximale et la valeur de ce maximum.

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Température d'un processeur : étude complète et maximum

Lors d'un test de charge, la température d'un processeur, en degrés Celsius, est modélisée par $T(t) = 30 + 50\,t\,e^{-t}$ , où $t$ est le temps écoulé depuis le début du test (en minutes), avec $t \geq 0$ . Étudier les variations de $T$ sur $[0\,;\,+\infty[$ , déterminer l'instant où la température est maximale et la valeur de ce maximum (arrondie au dixième de degré). On rappelle que $e \approx 2{,}718$ .

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Questions fréquentes

Comment dériver une fonction composée ?

Une fonction composée est une fonction placée à l'intérieur d'une autre, par exemple exponentielle de moins deux t. On dérive d'abord la fonction extérieure en gardant l'intérieur tel quel, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. C'est la règle dite de la chaîne : la dérivée de f de u est égale à u prime multiplié par f prime de u.

Quelle est la dérivée de l'exponentielle de u ?

La dérivée de l'exponentielle d'une fonction u est égale à u prime multiplié par l'exponentielle de u. Par exemple, la dérivée de l'exponentielle de moins deux t est moins deux multiplié par l'exponentielle de moins deux t. L'exponentielle est toujours strictement positive, donc le signe de la dérivée est entièrement donné par celui de u prime.

Quelle est la dérivée du logarithme népérien de u ?

La dérivée du logarithme népérien d'une fonction u, là où u est strictement positive, est égale à u prime divisé par u. Par exemple, la dérivée du logarithme de deux x plus un est deux divisé par deux x plus un. Comme u est positive, le signe de cette dérivée est celui de u prime.