Quiz : Concentration et loi des grands nombres (Tle)

Choisis une réponse par question, puis valide. Tu peux recommencer autant de fois que tu veux.

1. Question 1. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$, avec $a > 0$ ?

   $P\big(|X - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{V}{a^{2}}$ $P\big(|X - \mu| \geq a\big) = \dfrac{V}{a^{2}}$ $P\big(|X - \mu| \geq a\big) \geq \dfrac{V}{a^{2}}$ $P\big(|X - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{a^{2}}{V}$
2. Question 2. Pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$ (variables de même espérance $\mu$), que vaut $E(M_n)$ ?

   $\dfrac{\mu}{n}$ $n\mu$ $\mu$ $0$
3. Question 3. Pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$, de variance individuelle $V$, que vaut $V(M_n)$ ?

   $V$ $\dfrac{V}{n}$ $nV$ $\dfrac{V}{n^{2}}$
4. Question 4. L'inégalité de concentration appliquée à $M_n$ donne, pour $a > 0$ :

   $P\big(|M_n - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{V}{a^{2}}$ $P\big(|M_n - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{V}{n\,a^{2}}$ $P\big(|M_n - \mu| \geq a\big) \leq \dfrac{nV}{a^{2}}$ $P\big(|M_n - \mu| \geq a\big) = \dfrac{V}{n\,a^{2}}$
5. Question 5. D'après la loi des grands nombres, que vaut $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - \mu| \geq a\big)$ pour $a > 0$ fixé ?

   $0$ $1$ $\mu$ $a$
6. Question 6. Une variable $X$ a pour espérance $\mu = 10$ et variance $V = 2$. Quelle majoration donne Bienaymé-Tchebychev pour $P\big(|X - 10| \geq 2\big)$ ?

   $\leq 1$ $\leq 0{,}5$ $\leq 2$ $\leq 4$