Parmi ces situations, laquelle n'est PAS un schéma de Bernoulli ?

Tester n composants identiques, chacun défectueux avec la même probabilité

Lancer n fois la même pièce équilibrée

Compter les « j'aime » sur n vues indépendantes de même probabilité

Si X suit la loi binomiale B(n\,;\,p), quelle est la probabilité d'obtenir exactement k succès ?

P(X = k) = nk\, p^k\,(1 - p)^\,n - k

Quiz : Variables aléatoires et loi binomiale (1re STI2D)

Bonne réponse : $1$

La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut toujours $1$ : $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$ . Cette égalité sert à vérifier un tableau ou à retrouver une probabilité manquante.

Bonne réponse : $1{,}9$

$E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}3 = 0 + 0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}9 = 1{,}9$ . C'est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.

Bonne réponse : Un tirage sans remise où la probabilité change à chaque étape

Un schéma de Bernoulli exige des épreuves indépendantes et une probabilité de succès constante. Dans un tirage sans remise, $p$ change à chaque étape : ce n'est donc pas un schéma de Bernoulli.

Bonne réponse : $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}$

La formule est $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}$ . Le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ compte les positions des $k$ succès ; l'exposant de $(1 - p)$ est le nombre d'échecs $n - k$ .

Bonne réponse : $1$ composant

Pour une loi binomiale, $E(X) = n\,p = 20 \times 0{,}05 = 1$ . On attend en moyenne $1$ composant défectueux.

Bonne réponse : $0{,}2916$

$P(X = 1) = \dbinom{4}{1} \times 0{,}1^{1} \times 0{,}9^{3} = 4 \times 0{,}1 \times 0{,}729 = 0{,}2916$ . Le coefficient $\dbinom{4}{1} = 4$ compte les positions possibles du défectueux.