Première STI2D · Chapitre 11

Variables aléatoires et loi binomiale

Cours de Première STI2D sur les variables aléatoires : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type, schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux et loi binomiale. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Sur une chaîne de production, combien de composants vont être défectueux dans un lot de 20 ? Sur une vidéo, combien de spectateurs vont cliquer sur « j’aime » ? Dès qu’on répète une épreuve qui ne peut que réussir ou échouer, le schéma de Bernoulli et la loi binomiale permettent de prévoir ce qui va se passer. On commence par les outils de base - loi de probabilité, espérance, variance, écart-type - puis on les applique à ce modèle central de l’industrie et du contrôle qualité.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ ;
calculer l’espérance $E(X)$ , la variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ ;
reconnaître un schéma de Bernoulli (répétition d’épreuves à deux issues, indépendantes, de même probabilité) ;
utiliser les coefficients binomiaux et la loi binomiale pour calculer $P(X = k)$ ;
utiliser que l’espérance d’une loi binomiale vaut $E(X) = n\,p$ .

À quoi ça sert ?

En STI2D, tu testes sans arrêt des objets qui sont soit conformes, soit défectueux : une diode, une carte, une soudure, une pièce usinée. La loi binomiale répond à des questions très concrètes : « quelle est la probabilité d’avoir au moins un défaut dans un lot ? », « combien de défauts dois-je m’attendre à trouver en moyenne ? », « combien de pièces dois-je tester pour être quasi sûr de repérer un défaut ? ». C’est exactement le raisonnement d’un plan de contrôle qualité. Et ça marche aussi pour compter les « j’aime » sur une vidéo ou les parties gagnées à un mini-jeu : même hasard, même outil.

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire

On répète une expérience aléatoire. Une variable aléatoire $X$ est une règle qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel (un gain, un nombre de défauts, une tension mesurée…).

L’ensemble des valeurs prises par $X$ se note $\{x_1\,;\,x_2\,;\,\dots\,;\,x_n\}$ .

Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ . On la présente dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Chaque probabilité vérifie $0 \leqslant p_i \leqslant 1$ .

La somme des probabilités vaut 1

Pour toute loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités est égale à $1$ :

$p_1 + p_2 + \dots + p_n = \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$

Cette égalité sert à vérifier un tableau ou à retrouver une probabilité manquante.

2. Espérance, variance, écart-type

Espérance

L’espérance de $X$ est le nombre :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\, P(X = x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

C’est la valeur moyenne de $X$ que l’on obtiendrait en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.

Variance et écart-type

La variance de $X$ mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} \big(x_i - E(X)\big)^2 P(X = x_i)$

En pratique, on utilise plutôt la formule de König-Huygens, souvent plus rapide :

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \qquad \text{avec } E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2\, P(X = x_i)$

L’écart-type est la racine carrée de la variance :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Contrairement à la variance, l’écart-type s’exprime dans la même unité que $X$ , il se lit donc plus facilement.

Calculer E(X), V(X) et σ(X)

Dresser le tableau de la loi de probabilité et vérifier que $\sum P(X = x_i) = 1$ .
Calculer l’espérance $E(X) = \sum x_i\, P(X = x_i)$ .
Calculer $E(X^2) = \sum x_i^2\, P(X = x_i)$ .
En déduire la variance $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ , puis l’écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Nombre de pixels morts sur un écran de smartphone

Un test renvoie le nombre $X$ de pixels morts détectés sur un écran neuf. La loi de $X$ est :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}3$

Vérification : $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1$ . Le tableau est correct.

Espérance : $E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}3 = 0 + 0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}9 = 1{,}9.$

En moyenne, on s’attend à $1{,}9$ pixel mort par écran.

Variance (König-Huygens) : on calcule d’abord $E(X^2) = 0^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}2 + 2^2 \times 0{,}4 + 3^2 \times 0{,}3 = 0 + 0{,}2 + 1{,}6 + 2{,}7 = 4{,}5,$ puis $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = 4{,}5 - 1{,}9^2 = 4{,}5 - 3{,}61 = 0{,}89.$

Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{0{,}89} \approx 0{,}94$ pixel.

3. Schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues :

le succès, de probabilité $p$ ;
l’échec, de probabilité $1 - p$ .

On choisit librement quel résultat on appelle « succès » : par exemple, « le composant est défectueux » peut être le succès si c’est l’événement que l’on veut compter.

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques vérifiant deux conditions :

les épreuves sont indépendantes (un résultat n’influence pas les suivants) ;
la probabilité de succès $p$ est la même à chaque épreuve.

Tester un à un $n$ composants d’un même lot, en notant pour chacun « défectueux » ou « conforme », constitue un schéma de Bernoulli.

Reconnaître un schéma de Bernoulli

Pour affirmer qu’une situation est un schéma de Bernoulli, on vérifie les quatre points :

on répète la même épreuve ;
chaque épreuve a exactement deux issues (succès / échec) ;
les épreuves sont indépendantes ;
la probabilité de succès $p$ est constante d’une épreuve à l’autre.

Si l’un de ces points est faux (par exemple un tirage sans remise, où $p$ change), ce n’est pas un schéma de Bernoulli.

4. Coefficients binomiaux

Coefficient binomial

Dans un schéma de $n$ épreuves, le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») compte le nombre de façons d’obtenir $k$ succès parmi les $n$ épreuves, sans tenir compte de leur ordre.

On le lit à la calculatrice (touche $\binom{n}{k}$ ou nCr) ou dans le triangle de Pascal.

Quelques valeurs et le triangle de Pascal

Pour tout entier $n$ :

$\binom{n}{0} = 1, \qquad \binom{n}{n} = 1, \qquad \binom{n}{1} = n.$

Le triangle de Pascal donne tous les coefficients de proche en proche (chaque nombre est la somme des deux situés juste au-dessus). Par exemple, pour $n = 5$ :

$\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1.$

5. Loi binomiale

Loi binomiale

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès sur les $n$ épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

On note : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ . La variable $X$ peut prendre toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ .

Probabilité d'obtenir exactement k succès

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}.$

$\dbinom{n}{k}$ : nombre de façons de placer les $k$ succès ;
$p^{k}$ : probabilité des $k$ succès ;
$(1 - p)^{\,n - k}$ : probabilité des $n - k$ échecs.

Espérance, variance et écart-type d'une loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ , alors :

$E(X) = n\,p, \qquad V(X) = n\,p\,(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}.$

L’espérance $E(X) = n\,p$ donne le nombre moyen de succès attendu. C’est la formule la plus utilisée : inutile de refaire la somme $\sum x_i P(X = x_i)$ pour une loi binomiale.

Probabilité d'au moins un succès

La probabilité d’avoir « au moins un » succès se calcule presque toujours par l’événement contraire $\overline{A}$ (« aucun succès »), bien plus rapide :

$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^{\,n}.$

En effet, $\overline{A}$ correspond à $k = 0$ succès, donc $P(X = 0) = \dbinom{n}{0} p^{0} (1 - p)^{n} = (1 - p)^{n}$ .

Composants défectueux dans un lot de 4

Sur une chaîne, chaque composant a une probabilité $p = 0{,}1$ d’être défectueux, indépendamment des autres. On prélève $n = 4$ composants ; $X$ compte le nombre de défectueux, donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}1)$ .

Probabilité d’exactement $1$ défectueux : $P(X = 1) = \binom{4}{1} \times 0{,}1^{1} \times 0{,}9^{3} = 4 \times 0{,}1 \times 0{,}729 = 0{,}2916.$

Nombre moyen de défectueux : $E(X) = n\,p = 4 \times 0{,}1 = 0{,}4$ composant.

Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{4 \times 0{,}1 \times 0{,}9} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6$ .

Les pièges classiques

Confondre $E(X^2)$ et $\big(E(X)\big)^2$ . C’est faux d’écrire $V(X) = E(X)^2 - \dots$ avec l’espérance déjà élevée au carré. Le vrai calcul utilise $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i)$ , où l’on élève chaque valeur $x_i$ au carré avant de pondérer.
Oublier le coefficient binomial. Écrire $P(X = k) = p^{k}(1 - p)^{n-k}$ est faux : il manque $\dbinom{n}{k}$ , qui compte les différentes positions possibles des succès. Le vrai résultat est $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}(1 - p)^{n-k}$ .
Se tromper d’exposant. Dans $(1 - p)^{\,n-k}$ , l’exposant est le nombre d’échecs $n - k$ , pas $n$ .
Calculer « au moins un » à la main, terme par terme. C’est long et source d’erreurs : on passe toujours par le contraire $P(X \geqslant 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
Recalculer $E(X)$ par la grande somme alors que pour une loi binomiale il suffit d’écrire $E(X) = n\,p$ .

Le bon réflexe

Avant tout calcul, pose-toi trois questions : Combien d’épreuves ( $n$ ) ? Quelle probabilité de succès ( $p$ ) ? Que compte ma variable $X$ (un succès = quel événement) ? Une fois $n$ , $p$ et « succès » fixés, la formule $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n-k}$ se remplit toute seule.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Coefficients binomiaux et triangle de Pascal au jeu vidéo

Dans un jeu de football en ligne, un joueur dispute une série de $6$ matchs de classement. Pour chaque match, le résultat est soit une victoire, soit une défaite. On veut compter le nombre de façons d'obtenir un certain nombre de victoires sur la série, sans tenir compte de l'ordre des matchs.

1. Construire la ligne du triangle de Pascal correspondant à $n = 6$ .
2. En déduire le coefficient binomial $\dbinom{6}{2}$ : combien de façons de remporter exactement $2$ matchs sur les $6$ ?
3. Sans nouveau calcul, donner $\dbinom{6}{4}$ et expliquer pourquoi il est égal à $\dbinom{6}{2}$ .

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Loi de probabilité et gain moyen d'un coffre de mini-jeu

Dans un mini-jeu mobile, ouvrir un coffre rapporte un nombre $X$ de gemmes. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

| $x_i$ | $0$ | $5$ | $20$ | $100$ |
|-------|-----|-----|------|-------|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}55$ | $0{,}30$ | $0{,}12$ | $a$ |

1. Déterminer la valeur de $a$ .
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
3. Ouvrir un coffre coûte $8$ gemmes. Le jeu est-il avantageux pour le joueur sur le long terme ?

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Reconnaître un schéma de Bernoulli en contrôle qualité

À la sortie d'une presse, chaque pièce usinée est soit conforme, soit non conforme. D'après l'historique, une pièce a une probabilité $0{,}04$ d'être non conforme, indépendamment des autres. Un opérateur prélève $n = 15$ pièces au hasard sur une grande production et les contrôle une à une. On s'intéresse au nombre de pièces non conformes.

1. Décrire l'épreuve de Bernoulli associée à une pièce et préciser ce qu'on appelle « succès ».
2. Justifier que le contrôle des $15$ pièces constitue un schéma de Bernoulli, en précisant ses paramètres $n$ et $p$ .
3. La production étant très grande, pourquoi peut-on considérer la probabilité de succès comme constante d'une pièce à l'autre ?

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Au moins un défaut dans un lot et nombre moyen de défauts

On reprend la situation précédente : un lot de $n = 20$ composants, chaque composant ayant une probabilité $p = 0{,}05$ d'être défectueux, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de composants défectueux, qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)$ .

1. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un composant défectueux dans le lot. Arrondir au dix-millième.
2. Déterminer le nombre moyen de composants défectueux par lot, puis l'écart-type de $X$ .

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Loi de probabilité, variance et écart-type des badges d'une vidéo

Sur une plateforme de vidéos courtes, chaque vidéo publiée par un créateur peut décrocher des badges « tendance » dans la journée. On note $X$ le nombre de badges obtenus par une vidéo. Une étude sur l'historique du compte donne la loi de probabilité suivante :

| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-------|-----|-----|-----|-----|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}2$ | $0{,}3$ | $0{,}4$ | $0{,}1$ |

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
3. Calculer la variance $V(X)$ avec la formule de König-Huygens, puis l'écart-type $\sigma(X)$ arrondi au centième.

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Probabilité d'avoir exactement deux composants défectueux

Une carte électronique est équipée de composants livrés en lots. Chaque composant a une probabilité $p = 0{,}05$ d'être défectueux, indépendamment des autres. On prélève au hasard $n = 20$ composants d'un même lot et on note $X$ le nombre de composants défectueux parmi les $20$ .

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d'avoir exactement $2$ composants défectueux. Arrondir au dix-millième.

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Bonus

Combien de tests pour détecter un défaut à plus de 99 pour cent

Un capteur produit en série a une probabilité $p = 0{,}03$ d'être défectueux, indépendamment des autres. Pour valider un lot, le service qualité prélève $n$ capteurs et les teste : le lot est rejeté dès qu'au moins un capteur défectueux est trouvé. On note $X$ le nombre de capteurs défectueux parmi les $n$ testés ; $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}03)$ .

Déterminer le nombre minimal de capteurs à tester pour que la probabilité de détecter au moins un défaut dépasse $99\,\%$ .

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Impressions 3D ratées dans un atelier de prototypage

Dans un atelier de prototypage, une imprimante 3D lance des pièces en série. D'après le suivi de l'atelier, chaque pièce a une probabilité $p = 0{,}2$ d'être ratée (déformation, décollement), indépendamment des autres. Une nuit, l'atelier lance une fournée de $n = 10$ pièces. On note $X$ le nombre de pièces ratées parmi les $10$ .

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d'avoir exactement $3$ pièces ratées. Arrondir au dix-millième.
3. Calculer la probabilité d'avoir au moins $2$ pièces ratées. Arrondir au dix-millième.
4. Déterminer le nombre moyen de pièces ratées et l'écart-type de $X$ .

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un schéma de Bernoulli ?

Un schéma de Bernoulli est la répétition d'une même expérience qui n'a que deux issues, le succès et l'échec, un nombre n de fois, de façon indépendante et avec la même probabilité de succès p à chaque répétition. Tester un à un des composants en notant simplement défectueux ou conforme est un schéma de Bernoulli.

Comment calculer une probabilité avec la loi binomiale ?

Si X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, alors la probabilité d'obtenir exactement k succès vaut le coefficient binomial k parmi n, multiplié par p à la puissance k, multiplié par un moins p à la puissance n moins k. On calcule le coefficient binomial à la calculatrice ou avec le triangle de Pascal.

Que vaut l'espérance d'une loi binomiale ?

Pour une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance vaut n multiplié par p. Elle donne le nombre moyen de succès attendu sur les n répétitions. Par exemple, sur 20 composants ayant chacun 5 pour cent de risque d'être défectueux, on attend en moyenne 20 multiplié par 0,05, soit 1 composant défectueux.