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Prix optimal et plage de prix rentables

Énoncé

Un commerçant vend un produit au prix de xx euros, avec 0≤x≤240 \le x \le 24. Son bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par B(x)=−x2+24x−108B(x) = -x^{2} + 24x - 108. Déterminer le prix qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice, puis déterminer la plage de prix pour laquelle le commerçant réalise un bénéfice positif.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le bénéfice maximal se trouve au sommet : commence par calculer α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}, puis B(α)B(\alpha).
  2. Pour la plage de prix rentables, il faut résoudre B(x)=0B(x) = 0. Multiplie l'équation par −1-1 pour avoir un coefficient x2x^{2} positif, puis cherche les racines.
  3. Avec a<0a < 0, le bénéfice est positif entre les deux racines : conclus par un encadrement strict du prix.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les coefficients

    Le bénéfice est un trinôme B(x)=ax2+bx+cB(x) = ax^{2} + bx + c avec a=−1a = -1, b=24b = 24 et c=−108c = -108. Comme a=−1<0a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : le bénéfice admet un maximum au sommet.

  2. 2. Calculer le prix optimal

    Le prix qui maximise le bénéfice est l'abscisse du sommet : α=−b2a=−242×(−1)=−24−2=12.\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{24}{2 \times (-1)} = -\dfrac{24}{-2} = 12. Ce prix 1212 appartient bien à l'intervalle [0 ;24][0\,;24].

  3. 3. Calculer le bénéfice maximal

    On calcule B(12)=−122+24×12−108=−144+288−108=36.B(12) = -12^{2} + 24 \times 12 - 108 = -144 + 288 - 108 = 36. Le bénéfice maximal vaut donc 3636, soit 36 €.

  4. 4. Résoudre B(x) = 0 pour trouver les seuils

    Le bénéfice est positif tant que la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, c'est-à-dire entre ses racines. On résout −x2+24x−108=0-x^{2} + 24x - 108 = 0, soit x2−24x+108=0x^{2} - 24x + 108 = 0 (en multipliant par −1-1). On cherche deux nombres dont la somme est 2424 et le produit 108108 : ce sont 66 et 1818 (car 6+18=246 + 18 = 24 et 6×18=1086 \times 18 = 108). Donc x2−24x+108=(x−6)(x−18)x^{2} - 24x + 108 = (x - 6)(x - 18) et les racines sont x1=6x_1 = 6 et x2=18x_2 = 18.

  5. 5. Déterminer le signe du bénéfice

    Comme a=−1<0a = -1 < 0, le bénéfice B(x)B(x) est du signe opposé à aa (donc positif) entre les racines 66 et 1818, et négatif à l'extérieur. On vérifie avec une valeur test, x=12x = 12 : B(12)=36>0B(12) = 36 > 0, ce qui confirme que le bénéfice est positif entre 66 et 1818.

  6. 6. Conclure

    Le bénéfice est maximal pour un prix de 12 € et vaut alors 36 €. Le commerçant réalise un bénéfice positif lorsque son prix de vente est strictement compris entre 6 € et 18 €. En dehors de cette plage, soit le prix est trop bas, soit il est trop élevé, et le bénéfice devient négatif.
Réponse finale
Maximum 36 pour x=12 ;B(x)>0  ⟺  6<x<18\text{Maximum } 36 \text{ pour } x = 12\ ;\quad B(x) > 0 \iff 6 < x < 18
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