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Rêves Vision
Quatrième

Retrouver la hauteur d'un gobelet conique

Énoncé

Une marque de pop-corn veut lancer un gobelet en forme de cône. Le rayon du disque de base est imposé : r=5r = 5 cm. Le service marketing exige que ce gobelet contienne exactement 314314 cm3^3 de pop-corn. Quelle doit être la hauteur hh du gobelet ? On prendra π≈3,14\pi \approx 3{,}14.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pars de la formule du cône V=13×π×r2×hV = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h et remplace tout ce que tu connais : V=314V = 314, r=5r = 5 et π≈3,14\pi \approx 3{,}14. La seule lettre qui reste est hh.
  2. Calcule d'abord le nombre qui multiplie hh : 13×3,14×25=78,53\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 = \dfrac{78{,}5}{3}. Tu obtiens une égalité de la forme 314=(nombre)×h314 = (\text{nombre}) \times h.
  3. Pour isoler hh dans 314=78,53×h314 = \dfrac{78{,}5}{3} \times h, fais l'opération inverse : h=314×378,5h = \dfrac{314 \times 3}{78{,}5}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire la formule du volume d'un cône

    Le volume d'un cône de révolution est égal à un tiers de l'aire de sa base (un disque de rayon rr) multipliée par sa hauteur hh : V=13×π×r2×h.V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h. Ici on connaît le volume voulu V=314V = 314 cm3^3 et le rayon r=5r = 5 cm ; c'est la hauteur hh que l'on cherche.

  2. 2. Remplacer ce que l'on connaît

    On remplace rr par 55 et π\pi par 3,143{,}14 : 314=13×3,14×52×h.314 = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^2 \times h. Or 52=255^2 = 25, donc 314=13×3,14×25×h.314 = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times h.

  3. 3. Calculer le coefficient devant la hauteur

    On regroupe tout ce qui multiplie hh : 13×3,14×25=78,53.\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 = \dfrac{78{,}5}{3}. L'égalité devient donc 314=78,53×h.314 = \dfrac{78{,}5}{3} \times h.

  4. 4. Isoler la hauteur

    Pour trouver hh, on fait l'opération inverse : on multiplie 314314 par 33, puis on partage par 78,578{,}5. Donc h=314×378,5=94278,5.h = \dfrac{314 \times 3}{78{,}5} = \dfrac{942}{78{,}5}.

  5. 5. Conclure

    On effectue la dernière division : h=94278,5=12.h = \dfrac{942}{78{,}5} = 12. On peut vérifier en sens inverse : 13×3,14×25×12=3,14×100=314\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 12 = 3{,}14 \times 100 = 314 cm3^3, ce qui correspond bien à la consigne. Le gobelet doit avoir une hauteur de 1212 cm.
Réponse finale
h=314×33,14×52=94278,5=12 cmh = \frac{314 \times 3}{3{,}14 \times 5^2} = \frac{942}{78{,}5} = 12 \ \text{cm}
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