Quatrième · Chapitre 11

Translation et espace

Cours de Quatrième : tracer l'image d'une figure par une translation, décrire pyramides et cônes, calculer leur volume. Méthodes claires et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Faire glisser un sticker sur un écran de TikTok, empiler des packs identiques dans EA FC, deviner combien de boules de glace tiennent dans un cornet : derrière ces gestes se cachent deux idées de géométrie de Quatrième. La translation déplace une figure « tout droit » sans la déformer, et les solides comme la pyramide et le cône se mesurent grâce à des formules de volume très proches l’une de l’autre.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais tracer l’image d’un point ou d’une figure par une translation donnée par une flèche.
Je sais reconnaître et décrire une pyramide et un cône (faces, sommet, base, hauteur).
Je sais calculer le volume d’une pyramide et le volume d’un cône.
Je sais associer un patron au solide correspondant.

À quoi ça sert vraiment ?

Quand tu déplaces un même autocollant plusieurs fois sur une story, à chaque clic il glisse dans la même direction et de la même distance : c’est une translation. Les graphistes et les développeurs de jeux s’en servent pour dupliquer des éléments sans les redessiner.

Et le volume ? Une marque de glaces qui dessine un nouveau cornet doit savoir combien de cm³ il contient pour fixer le prix. Le toit d’une tente, une pointe de fusée, le bout d’un crayon taillé : tous ces objets sont des pyramides ou des cônes, et leur volume se calcule avec les formules de ce chapitre.

1. La translation

Translation et flèche

Translater une figure, c’est la faire glisser tout droit : on choisit une direction, un sens et une distance, puis on déplace chaque point de la figure de la même façon.

On représente ce glissement par une flèche (un vecteur de translation) :

la direction de la flèche (par exemple horizontale ou oblique) donne la droite le long de laquelle on glisse ;
le sens de la flèche (par exemple vers la droite) indique de quel côté on va ;
la longueur de la flèche donne la distance du glissement.

La figure obtenue après le glissement s’appelle l’image de la figure de départ.

Ce que la translation conserve

Une translation ne déforme rien : l’image a exactement la même allure que la figure de départ. Plus précisément, la translation conserve :

les longueurs (un segment et son image ont la même longueur) ;
les angles ;
l’aire et le périmètre ;
l’alignement et le parallélisme.

On dit que la figure et son image sont superposables : si tu découpais la figure de départ, tu pourrais la poser pile sur son image en la faisant seulement glisser, sans la tourner ni la retourner.

Tracer l'image d'un point par une translation

On veut tracer l’image $M'$ d’un point $M$ par la translation représentée par une flèche qui « avance de $a$ carreaux vers la droite et de $b$ carreaux vers le haut ».

Repérer sur la flèche le déplacement : combien de carreaux horizontalement, combien de carreaux verticalement, et dans quels sens.
Partir du point $M$ et reproduire exactement ce même déplacement : on avance de $a$ carreaux vers la droite, puis de $b$ carreaux vers le haut.
Marquer le point d’arrivée : c’est l’image $M'$ .

Pour translater une figure entière, on applique ce procédé à chacun de ses points clés (les sommets), puis on relie les images dans le même ordre.

Un exemple sur quadrillage

On considère la translation qui « avance de $4$ carreaux vers la droite » (flèche horizontale, sens vers la droite, longueur $4$ carreaux).

Le point $A$ a pour image le point $A'$ situé $4$ carreaux plus à droite, sur la même ligne (aucun déplacement vertical).

Si on translate un triangle $ABC$ par cette même flèche, on décale chaque sommet de $4$ carreaux vers la droite pour obtenir $A'$ , $B'$ et $C'$ , puis on relie ces trois points : le triangle $A'B'C'$ est l’image. Il est identique au triangle $ABC$ , juste glissé vers la droite.

Le piège de la translation

FAUX : croire qu’on peut « pencher » ou « tourner » un peu la figure en la translatant. Beaucoup d’élèves redessinent l’image en changeant légèrement son inclinaison.

VRAI : une translation est un glissement « tout droit ». L’image garde exactement la même orientation que la figure de départ. Les côtés de l’image sont parallèles aux côtés correspondants de la figure de départ et ont la même longueur. Si ton image est inclinée autrement que l’original, c’est qu’il y a une erreur.

2. Pyramides et cônes

La pyramide

Une pyramide est un solide formé :

d’une base qui est un polygone (un triangle, un carré, un rectangle…) ;
de faces latérales qui sont des triangles ;
d’un point commun à toutes les faces latérales, appelé le sommet de la pyramide.

La hauteur de la pyramide est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à la base. On la note souvent $h$ .

Exemple : une pyramide à base carrée possède 5 faces (le carré de base $+$ $4$ triangles), $5$ sommets et $8$ arêtes.

Le cône de révolution

Un cône de révolution est un solide formé :

d’une base qui est un disque (de rayon $r$ ) ;
d’une surface latérale courbe qui se referme en un point, le sommet ;
d’une hauteur $h$ , distance entre le sommet et le centre du disque de base, perpendiculaire à la base.

On l’obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés de l’angle droit. La pointe d’un cornet de glace ou un bonnet de fête en sont de bons exemples.

Volume d'une pyramide

Le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur :

$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

où $\mathcal{A}_{\text{base}}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.

Si la base est un carré de côté $c$ , alors $\mathcal{A}_{\text{base}} = c^2$ , donc : $V = \frac{1}{3} \times c^2 \times h$

Volume d'un cône de révolution

La base d’un cône est un disque de rayon $r$ , dont l’aire est $\pi \times r^2$ . Le volume du cône suit la même règle que la pyramide (un tiers de l’aire de base multipliée par la hauteur) :

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$

où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur du cône.

Calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône

Repérer la base et calculer son aire $\mathcal{A}_{\text{base}}$ ( $c^2$ pour un carré, $\pi \times r^2$ pour un disque…).
Identifier la hauteur $h$ (bien perpendiculaire à la base, à ne pas confondre avec une arête oblique).
Appliquer la formule : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ .
Multiplier d’abord, puis diviser par $3$ , et écrire le résultat avec l’unité de volume ( $\text{cm}^3$ , $\text{m}^3$ …).

Exemple : pyramide à base carrée de côté $3$ cm et de hauteur $7$ cm. $\mathcal{A}_{\text{base}} = 3^2 = 9$ cm², puis $V = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 7 = \dfrac{63}{3} = 21$ cm³.

Le patron d'un solide

Le patron d’un solide est le dessin « à plat » de toutes ses faces, qui permet de le reconstruire en le pliant.

Le patron d’une pyramide est formé de la base (le polygone) entourée de ses faces triangulaires.
Le patron d’un cône est formé du disque de base et d’une portion de disque (un secteur) qui forme la surface latérale.

Vérifier un patron, c’est s’assurer que les côtés qui doivent se coller une fois plié ont bien la même longueur.

Les pièges sur le volume

FAUX : oublier le « un tiers ». Écrire $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ donne le volume d’un prisme ou d’un cylindre, pas d’une pyramide ni d’un cône. VRAI : pour une pointe (pyramide, cône), on divise par $3$ .
FAUX : confondre la hauteur avec une arête oblique. L’arête qui descend en biais vers un sommet de la base est plus longue que la hauteur. VRAI : la hauteur $h$ est perpendiculaire à la base.
FAUX : se tromper d’unité. Un volume s’exprime en unités au cube ( $\text{cm}^3$ ), jamais en $\text{cm}^2$ .

Le mémo à retenir

Pyramide ou cône, c’est la même idée : on prend le volume du solide « droit » correspondant (prisme ou cylindre, c’est-à-dire aire de la base $\times$ hauteur) et on en garde le tiers. Trois pyramides de même base et même hauteur remplissent exactement un prisme : voilà d’où vient le $\dfrac{1}{3}$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Combien de faces pour une pyramide à base carrée

On considère une pyramide dont la base est un carré. Combien de faces possède-t-elle au total ?

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Glisser un sticker sur l'écran

Sur l'écran quadrillé d'une story, un sticker est placé au point $A$ . Tu le fais glisser par la translation représentée par une flèche qui avance de $5$ carreaux vers la droite et de $2$ carreaux vers le haut. Décris précisément où se trouve l'image $A'$ du point $A$ après ce glissement.

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Translater un triangle vers la droite

Sur un quadrillage, on place un triangle $ABC$ avec $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,1)$ et $C(2\,;\,4)$ (les coordonnées sont données en nombres de carreaux à partir de l'origine). On translate ce triangle selon une flèche horizontale qui avance de $4$ carreaux vers la droite. Donne les coordonnées des images $A'$ , $B'$ et $C'$ des trois sommets, puis décris l'image $A'B'C'$ .

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Volume d'un presse-papier pyramidal

Un artisan coule de la résine transparente pour fabriquer un presse-papier en forme de pyramide. La base de cette pyramide est un rectangle de longueur $6$ cm et de largeur $4$ cm, et sa hauteur mesure $10$ cm. Quel volume de résine, en cm cubes, faut-il prévoir pour remplir le moule ?

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Volume d'une pyramide à base carrée

Une pyramide a pour base un carré de côté $6$ cm et sa hauteur mesure $9$ cm. Calcule son volume en cm cubes.

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Bonus

Le volume d'un cornet de glace

Pour un défi gourmand filmé en story, tu remplis de glace un cornet en forme de cône. Ce cornet a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $12$ cm. En prenant $\pi \approx 3{,}14$ , calcule le volume de glace que le cornet peut contenir, en cm cubes.

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Retrouver la hauteur d'un gobelet conique

Une marque de pop-corn veut lancer un gobelet en forme de cône. Le rayon du disque de base est imposé : $r = 5$ cm. Le service marketing exige que ce gobelet contienne exactement $314$ cm $^3$ de pop-corn. Quelle doit être la hauteur $h$ du gobelet ? On prendra $\pi \approx 3{,}14$ .

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Retrouver la translation puis la réutiliser

Dans l'éditeur de niveau d'un jeu vidéo, chaque objet est repéré par ses coordonnées (en nombres de carreaux). Tu copies une caisse du point $P(2\,;\,3)$ vers le point $P'(7\,;\,5)$ : l'éditeur applique alors une translation. 1) Décris le déplacement (combien de carreaux horizontalement et verticalement) de cette translation. 2) Tu colles ensuite une seconde caisse à partir du point $Q(4\,;\,1)$ avec la même translation : donne les coordonnées de son image $Q'$ .

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une translation en quatrième ?

Une translation est un glissement de toute une figure dans une direction donnée, sur une certaine distance, sans la tourner ni la déformer. On la décrit par une flèche : la longueur de la flèche donne la distance du glissement, et son sens indique vers où l'on glisse. L'image obtenue a exactement la même forme et les mêmes longueurs que la figure de départ.

Comment calculer le volume d'une pyramide ?

Le volume d'une pyramide est égal à un tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur. La hauteur est la distance entre le sommet de la pyramide et le plan de la base, mesurée perpendiculairement. On calcule donc d'abord l'aire de la base, on la multiplie par la hauteur, puis on divise par trois.

Quelle est la différence entre une pyramide et un cône ?

Une pyramide a une base qui est un polygone, par exemple un carré ou un triangle, et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet. Un cône de révolution a une base qui est un disque et une surface latérale courbe qui se referme aussi en un sommet. Leurs formules de volume se ressemblent : dans les deux cas on prend un tiers de l'aire de base multipliée par la hauteur.